2. 考研
  3. 设A、B为同阶实对称矩阵，A的特征值全大于a，B的特征值全大于b，a、b为常数，证明：A+B的特征值全大于a+b．

设A、B为同阶实对称矩阵，A的特征值全大于a，B的特征值全大于b，a、b为常数，证明：A+B的特征值全大于a+b．

admin2018-07-27  82
问题 设A、B为同阶实对称矩阵，A的特征值全大于a，B的特征值全大于b，a、b为常数，证明：A+B的特征值全大于a+b．
选项
答案1 设λ为A+B的任一特征值，则有X≠0，使 (A+B)X=λX， 故有(A+B)X－(a+b)X=λX－(a+b)X 即[(A－aE)+(B－bE)]X=[λ－(a+b)]X 故λ－(a+b)为(A－aE)+(B－bE)的特征值，由已知条件易知A－aE及B－bE都是正定矩阵．故(A－aE)+(B－bE)正定，因而它的特征值全大于0，因此有λ－(a+b)＞0，[*]λ＞a+b． 2 设s为A+B的最小特征值，对应的特征向量为X1；λ1、μ1分别是A、B的最小特征值，则有 [*] ≥λ1+μ1＞a+b 故A+B的特征值全大于a+b．
解析
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考研数学三

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