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设A、B为同阶实对称矩阵,A的特征值全大于a,B的特征值全大于b,a、b为常数,证明:A+B的特征值全大于a+b.
设A、B为同阶实对称矩阵,A的特征值全大于a,B的特征值全大于b,a、b为常数,证明:A+B的特征值全大于a+b.
admin
2018-07-27
103
问题
设A、B为同阶实对称矩阵,A的特征值全大于a,B的特征值全大于b,a、b为常数,证明:A+B的特征值全大于a+b.
选项
答案
1 设λ为A+B的任一特征值,则有X≠0,使 (A+B)X=λX, 故有(A+B)X-(a+b)X=λX-(a+b)X 即[(A-aE)+(B-bE)]X=[λ-(a+b)]X 故λ-(a+b)为(A-aE)+(B-bE)的特征值,由已知条件易知A-aE及B-bE都是正定矩阵.故(A-aE)+(B-bE)正定,因而它的特征值全大于0,因此有λ-(a+b)>0,[*]λ>a+b. 2 设s为A+B的最小特征值,对应的特征向量为X
1
;λ
1
、μ
1
分别是A、B的最小特征值,则有 [*] ≥λ
1
+μ
1
>a+b 故A+B的特征值全大于a+b.
解析
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考研数学三
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