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[2010年] 设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内存在二阶导数,且 [*] 证明存在ξ∈(0,3),使f"(ξ)=0.
[2010年] 设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内存在二阶导数,且 [*] 证明存在ξ∈(0,3),使f"(ξ)=0.
admin
2019-03-30
34
问题
[2010年] 设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内存在二阶导数,且
[*]
证明存在ξ∈(0,3),使f"(ξ)=0.
选项
答案
因f(x)在[2,3]上连续,设f(x)在此区间上的最大值为M,最小值为m,则x∈[2,3]时,有 m≤f(2)≤M,m≤f(3)≤M, 故 [*] 由介值定理知,存在δ∈(2,3),使[*]于是有f(0)=f(η)=f(δ). 对f(x)分别在[0,η]上,在[η,δ]上由罗尔定理知,至少存在一点ξ∈(0,η)[*](0,2),满足f’(ξ
1
)=0;至少存在一点ξ
2
∈(η,δ)[*](0,3),满足f’(ξ
2
)=0. 又因f’(x)在[ξ
1
,ξ
2
]上可导,且f’(ξ
1
)=f’(ξ
2
),由罗尔定理知,至少有一点ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](0,3),使f"(ξ)=0.
解析
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考研数学三
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