2. 考研
  3. [2010年] 设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内存在二阶导数，且 [*] 证明存在ξ∈(0，3)，使f"(ξ)=0．

[2010年] 设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内存在二阶导数，且 [*] 证明存在ξ∈(0，3)，使f"(ξ)=0．

admin2019-03-30  24
问题 [2010年]  设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内存在二阶导数，且
        [*]
证明存在ξ∈(0，3)，使f"(ξ)=0．
选项
答案因f(x)在[2，3]上连续，设f(x)在此区间上的最大值为M，最小值为m，则x∈[2，3]时，有 m≤f(2)≤M，m≤f(3)≤M， 故 [*] 由介值定理知，存在δ∈(2，3)，使[*]于是有f(0)=f(η)=f(δ)． 对f(x)分别在[0，η]上，在[η，δ]上由罗尔定理知，至少存在一点ξ∈(0，η)[*](0，2)，满足f’(ξ1)=0；至少存在一点ξ2∈(η，δ)[*](0，3)，满足f’(ξ2)=0． 又因f’(x)在[ξ1，ξ2]上可导，且f’(ξ1)=f’(ξ2)，由罗尔定理知，至少有一点ξ∈(ξ1，ξ2)[*](0，3)，使f"(ξ)=0．
解析
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考研数学三

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