[2010年] 设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内存在二阶导数,且 [*] 证明存在ξ∈(0,3),使f"(ξ)=0.

admin2019-03-30  31

问题 [2010年]  设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内存在二阶导数,且
        [*]
证明存在ξ∈(0,3),使f"(ξ)=0.

选项

答案因f(x)在[2,3]上连续,设f(x)在此区间上的最大值为M,最小值为m,则x∈[2,3]时,有 m≤f(2)≤M,m≤f(3)≤M, 故 [*] 由介值定理知,存在δ∈(2,3),使[*]于是有f(0)=f(η)=f(δ). 对f(x)分别在[0,η]上,在[η,δ]上由罗尔定理知,至少存在一点ξ∈(0,η)[*](0,2),满足f’(ξ1)=0;至少存在一点ξ2∈(η,δ)[*](0,3),满足f’(ξ2)=0. 又因f’(x)在[ξ1,ξ2]上可导,且f’(ξ1)=f’(ξ2),由罗尔定理知,至少有一点ξ∈(ξ1,ξ2)[*](0,3),使f"(ξ)=0.

解析
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