设f(x,y),φ(x,y)均有连续偏导数,点M0(x0,y0)是函数z=f(x,y)在条件φ(x,y)=0下的极值点,又 (x0,y0)≠0,求证: (Ⅰ) (Ⅱ)曲面z=f(x,y)与柱面φ(x,y)=0的交线Γ在点P0(x0,y0,z

admin2015-05-07  47

问题 设f(x,y),φ(x,y)均有连续偏导数,点M0(x0,y0)是函数z=f(x,y)在条件φ(x,y)=0下的极值点,又 (x0,y0)≠0,求证:
    (Ⅰ)
    (Ⅱ)曲面z=f(x,y)与柱面φ(x,y)=0的交线Γ在点P0(x0,y0,z0)(z0=x0,y0))处的切线与xy平面平行.

选项

答案(Ⅰ)由题设条件[*]方程φ(x,y)=0在点M0邻域确定隐函数y=y(x),且满足y(x0)=y0. M0点是z=f(x,y)在条件φ(x,y)=0下的极值点[*]z=f[x,y(x)]以x=x0为极值点.它的必要条件是 [*] 由φ [ x,y(x)]=0及隐函数求导法得 φ’x+φ’y.y’(x)=0,即y’(x)=[*] 代入(*)得 [*] (Ⅱ)空间曲线Γ:[*]在P0(x0,y0,z0)处的切线的方向向量(切向量)为 [*]

解析
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