2. 考研
  3. 设A为3阶实对称矩阵，其特征值为λ1=0，λ2=λ3=1，α2，α3是A的两个不同的特征向量，且A(α1+α2)=α2． 证明Aα1=0；

设A为3阶实对称矩阵，其特征值为λ1=0，λ2=λ3=1，α2，α3是A的两个不同的特征向量，且A(α1+α2)=α2． 证明Aα1=0；

admin2021-07-27  56
问题 设A为3阶实对称矩阵，其特征值为λ1=0，λ2=λ3=1，α2，α3是A的两个不同的特征向量，且A(α1+α2)=α2．
证明Aα1=0；
选项
答案①若α1，α2都是A的属于λ1=0的特征向量，则A(α1+α2)=Aα1+Aα2=0≠α2，矛盾；②若α1，α2都是A的属于λ2=λ3=1的特征向量，则A(α1+α2)=Aα1+Aα2=α1+α2≠α2，矛盾，故α1，α2分别是A的属于不同特征值的特征向量；③若α1是A的属于λ2=λ3=1的特征向量，α2是A的属于λ1=0的特征向量，则A(α1+α2)=Aα1+Aα2=α1+O=α1≠α2，矛盾；④若α1是A的属于λ1=0的特征向量，α2是A的属于λ2=λ3=1的特征向量，则A(α1+α2)=Aα1+Aα2=O+α2=α2，符合题意，故α1是A的属于λ1=0的特征向量．所以Aα1=0．
解析
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考研数学二

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