设A为3阶实对称矩阵,其特征值为λ1=0,λ2=λ3=1,α2,α3是A的两个不同的特征向量,且A(α1+α2)=α2. 证明Aα1=0;

admin2021-07-27  36

问题 设A为3阶实对称矩阵,其特征值为λ1=0,λ23=1,α2,α3是A的两个不同的特征向量,且A(α12)=α2
证明Aα1=0;

选项

答案①若α1,α2都是A的属于λ1=0的特征向量,则A(α12)=Aα1+Aα2=0≠α2,矛盾;②若α1,α2都是A的属于λ23=1的特征向量,则A(α12)=Aα1+Aα212≠α2,矛盾,故α1,α2分别是A的属于不同特征值的特征向量;③若α1是A的属于λ23=1的特征向量,α2是A的属于λ1=0的特征向量,则A(α12)=Aα1+Aα21+O=α1≠α2,矛盾;④若α1是A的属于λ1=0的特征向量,α2是A的属于λ23=1的特征向量,则A(α12)=Aα1+Aα2=O+α22,符合题意,故α1是A的属于λ1=0的特征向量.所以Aα1=0.

解析
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