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设A为三阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的三维列向量,且满足Aα1=2α1+α2-α3,Aα2=α1+2α2+α3, Aα3=-α1+α2+2α3. 求A的特征值,并求可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵.
设A为三阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的三维列向量,且满足Aα1=2α1+α2-α3,Aα2=α1+2α2+α3, Aα3=-α1+α2+2α3. 求A的特征值,并求可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵.
admin
2017-06-14
62
问题
设A为三阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
是线性无关的三维列向量,且满足Aα
1
=2α
1
+α
2
-α
3
,Aα
2
=α
1
+2α
2
+α
3
, Aα
3
=-α
1
+α
2
+2α
3
.
求A的特征值,并求可逆矩阵P,使P
-1
AP为对角矩阵.
选项
答案
记 [*] 得矩阵B,也即矩阵A的特征值为λ
1
=λ
2
=3,λ
3
=0. 对应于λ
1
=λ
2
=3,解(3E-B)x=0,得基础解系为ξ
1
=(1,1,0)
T
,ξ
2
=(-1,0,1)
T
; 对应于λ
3
=0,解(0E—B)x=0,得ξ
3
=(0,1,1)
T
. 令P
2
=[ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
],则P
2
-1
BP
2
= [*] 因P
2
-1
BP
2
=P
2
-1
P
1
-1
AP
1
P
2
=(P
1
P
2
)
-1
A(P
1
P
2
)= [*] 记矩阵P=P
1
P
2
= [α
1
,α
2
,α
3
][*] =[α
1
+α
2
,-α
1
+α
3
,α
2
+α
3
] 则P即为所求矩阵,且[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/opu4777K
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考研数学一
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