2. 考研
  3. 设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y′(x)＞0，y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1—S2

设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y′(x)＞0，y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1—S2

admin2018-12-29  53
问题 设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y′(x)＞0，y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1—S2恒为1，求曲线y=y(x)的方程。
选项
答案设曲线y=y(x)上的点P(x，y)处的切线方程为Y—y=y′(X—x)，它与x轴的交点为[*] 由于y′(x)＞0，y(0)=1，因此y(x)＞1(x＞0)。于是 [*] 又因S2=∫0xy(t)dt，根据题设2S1—S2=1，有[*]，并且y′(0)=1，两边对x求导并化简得yy″=(y′)2，这是可降阶的二阶常微分方程，令p=y′，则上述方程可化[*]=p2，分离变量得[*]，从而有y=C2eC1x。 根据y′(0)=1，y(0)=1，可得C1=1，C2=1。故所求曲线的方程为y=ex。
解析
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考研数学一

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