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设函数y(x)(x≥0)二阶可导,且y′(x)>0,y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并设2S1—S2
设函数y(x)(x≥0)二阶可导,且y′(x)>0,y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并设2S1—S2
admin
2018-12-29
65
问题
设函数y(x)(x≥0)二阶可导,且y′(x)>0,y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S
1
,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S
2
,并设2S
1
—S
2
恒为1,求曲线y=y(x)的方程。
选项
答案
设曲线y=y(x)上的点P(x,y)处的切线方程为Y—y=y′(X—x),它与x轴的交点为[*] 由于y′(x)>0,y(0)=1,因此y(x)>1(x>0)。于是 [*] 又因S
2
=∫
0
x
y(t)dt,根据题设2S
1
—S
2
=1,有[*],并且y′(0)=1,两边对x求导并化简得yy″=(y′)
2
,这是可降阶的二阶常微分方程,令p=y′,则上述方程可化[*]=p
2
,分离变量得[*],从而有y=C
2
e
C
1
x
。 根据y′(0)=1,y(0)=1,可得C
1
=1,C
2
=1。故所求曲线的方程为y=e
x
。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/pDM4777K
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考研数学一
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