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设函数f(u)具有二阶连续导数,z=f(excos y)满足 =(4z+excos y)e2x. 若f(0)=0,f’(0)=0,求f(u)的表达式.
设函数f(u)具有二阶连续导数,z=f(excos y)满足 =(4z+excos y)e2x. 若f(0)=0,f’(0)=0,求f(u)的表达式.
admin
2022-09-22
52
问题
设函数f(u)具有二阶连续导数,z=f(e
x
cos y)满足
=(4z+e
x
cos y)e
2x
.
若f(0)=0,f’(0)=0,求f(u)的表达式.
选项
答案
根据复合函数的求偏导法则,由z=f(e
x
cos y),得 [*]=f’(e
x
cos y)·e
x
cos y,[*]=f’(e
x
cos y)·(-e
x
sin y), [*]=f”(e
x
cos y)·e
x
cos y·e
x
cos y+f’(e
x
cos y)·e
x
cos y, [*]=f”(e
x
cos y)·(-e
x
sin y)·(-e
x
sin y)+f’(e
x
cos y)·(-e
x
cos y). 又[*]=(4z+e
x
cos y)e
2x
,则有 f”(e
x
cos y)·e
2x
=[4f(e
x
cos y)+e
x
cos y]e
2x
, 即 f”(u)-4f(u)=u. 齐次方程f”(u)-4f(u)=0对应的特征方程为 λ
2
-4=0. 解得λ=±2.因此对应齐次方程的通解为Y=C
1
e
2u
+C
2
e
-2u
. 由于自由项f(u)=u,则可设特解为y
*
=Au+B,代入原非齐次方程,得 -4(Au+B)=u. 比较系数,可得A=-1/4,B=0,因此y
*
=-[*]u. 则原非齐次方程通解为 y=f(u)Y+y
*
=C
1
e
2u
+C
2
e
-2u
-[*]u. 又f(0)=0,f’(0)=0,可得C
1
=1/16,C
2
=-1/16.因此 f(u)=[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/pDf4777K
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考研数学二
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