2. 考研
  3. 设函数f(u)具有二阶连续导数，z=f(excos y)满足 =(4z+excos y)e2x． 若f(0)=0，f’(0)=0，求f(u)的表达式．

设函数f(u)具有二阶连续导数，z=f(excos y)满足 =(4z+excos y)e2x． 若f(0)=0，f’(0)=0，求f(u)的表达式．

admin2022-09-22  23
问题 设函数f(u)具有二阶连续导数，z=f(excos y)满足
    =(4z+excos y)e2x．
    若f(0)=0，f’(0)=0，求f(u)的表达式．
选项
答案根据复合函数的求偏导法则，由z=f(excos y)，得 [*]=f’(excos y)·excos y，[*]=f’(excos y)·(-exsin y)， [*]=f”(excos y)·excos y·excos y+f’(excos y)·excos y， [*]=f”(excos y)·(-exsin y)·(-exsin y)+f’(excos y)·(-excos y)． 又[*]=(4z+excos y)e2x，则有 f”(excos y)·e2x=[4f(excos y)+excos y]e2x， 即 f”(u)-4f(u)=u． 齐次方程f”(u)-4f(u)=0对应的特征方程为 λ2-4=0． 解得λ=±2．因此对应齐次方程的通解为Y=C1e2u+C2e-2u． 由于自由项f(u)=u，则可设特解为y*=Au+B，代入原非齐次方程，得 -4(Au+B)=u． 比较系数，可得A=-1／4，B=0，因此y*=-[*]u． 则原非齐次方程通解为 y=f(u)Y+y*=C1e2u+C2e-2u-[*]u． 又f(0)=0，f’(0)=0，可得C1=1／16，C2=-1／16．因此 f(u)=[*]
解析
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考研数学二

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