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设曲线y=f(x),其中f(x)是可导函数,且f(x)>0,已知曲线y=f(x)与直线y=0,x=1及x=t(t>1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍,求该曲线的方程。
设曲线y=f(x),其中f(x)是可导函数,且f(x)>0,已知曲线y=f(x)与直线y=0,x=1及x=t(t>1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍,求该曲线的方程。
admin
2022-10-13
81
问题
设曲线y=f(x),其中f(x)是可导函数,且f(x)>0,已知曲线y=f(x)与直线y=0,x=1及x=t(t>1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍,求该曲线的方程。
选项
答案
由题意知,π∫
1
t
f
2
(x)dx=πt∫
1
t
f(x)dx 两边对t求导得 f
2
(t)=∫
1
t
f(x)dx+tf(t) 代入t=1得f(1)=1,或f(1)=0(舍去),再求导得 2f(t)f’(t)=2f(t)+tf’(t) 记f(t)=y,则[*],因此 [*]
解析
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考研数学三
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