设f(x1,x2,x3)=xTAx=x21+x22+x23+4xl戈2+4x1x3+4x2x3,求正交变换化二次型为标准形,并求当x满足xTx=x21+x22+x23=2时,f(x1,x2,x3)的最大值。

admin2022-01-05  55

问题 设f(x1,x2,x3)=xTAx=x21+x22+x23+4xl戈2+4x1x3+4x2x3,求正交变换化二次型为标准形,并求当x满足xTx=x21+x22+x23=2时,f(x1,x2,x3)的最大值。

选项

答案根据题意,二次型矩阵为[*],则可求得矩阵A的特征值 [*] 因此可得矩阵A的特征值分别为λ1=5,λ2=λ3=-1。 当λ1=5时,解方程组5E-A=0可得对应于特征值5的特征向量为ξ1=(1,1,1)T; 当λ2=λ3=-1时,解方程组-E-A=0可得对应于特征值-1的特征向量为ξ2=(0,-1,1)T,ξ3=(-2,1,1)T,且ξ2,ξ3正交。 将向量ξ1=(1,1,1)T,ξ2=(0,-1,1)T,ξ3=(-2,1,1)T单位化之后分别为 [*] 构造正交矩阵,得 [*] 令x=Py,则F(x1,x2,x2)=xTAx=5y21-y22-y23。 因为xTx=(Py)TPy=yT(PTP)y=yTy=y21+y22+y23=2, 所以 f(x1,x2,x3)=5y21-y22-y23=6y21-2, 由于y21=2-(y22+y23)≤2,即当(x1,x2,x3)≤10,即当[*]时,原二次型最大值为10。

解析 本题主要考查特征向量的求解及特征值的性质。求二次型的标准形基本步骤为:先求出二次型矩阵的特征向量,然后将特征向量单位化,得出正交矩阵。本题计算f(x1,x2,x3)的最大值时可结合平方数非负的特点。
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