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设f(x1,x2,x3)=xTAx=x21+x22+x23+4xl戈2+4x1x3+4x2x3,求正交变换化二次型为标准形,并求当x满足xTx=x21+x22+x23=2时,f(x1,x2,x3)的最大值。
设f(x1,x2,x3)=xTAx=x21+x22+x23+4xl戈2+4x1x3+4x2x3,求正交变换化二次型为标准形,并求当x满足xTx=x21+x22+x23=2时,f(x1,x2,x3)的最大值。
admin
2022-01-05
52
问题
设f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
Ax=x
2
1
+x
2
2
+x
2
3
+4xl戈2+4x
1
x
3
+4x
2
x
3
,求正交变换化二次型为标准形,并求当x满足x
T
x=x
2
1
+x
2
2
+x
2
3
=2时,f(x
1
,x
2
,x
3
)的最大值。
选项
答案
根据题意,二次型矩阵为[*],则可求得矩阵A的特征值 [*] 因此可得矩阵A的特征值分别为λ
1
=5,λ
2
=λ
3
=-1。 当λ
1
=5时,解方程组5E-A=0可得对应于特征值5的特征向量为ξ
1
=(1,1,1)
T
; 当λ
2
=λ
3
=-1时,解方程组-E-A=0可得对应于特征值-1的特征向量为ξ
2
=(0,-1,1)
T
,ξ
3
=(-2,1,1)
T
,且ξ
2
,ξ
3
正交。 将向量ξ
1
=(1,1,1)
T
,ξ
2
=(0,-1,1)
T
,ξ
3
=(-2,1,1)
T
单位化之后分别为 [*] 构造正交矩阵,得 [*] 令x=Py,则F(x
1
,x
2
,x
2
)=x
T
Ax=5y
2
1
-y
2
2
-y
2
3
。 因为x
T
x=(Py)
T
Py=y
T
(P
T
P)y=y
T
y=y
2
1
+y
2
2
+y
2
3
=2, 所以 f(x
1
,x
2
,x
3
)=5y
2
1
-y
2
2
-y
2
3
=6y
2
1
-2, 由于y
2
1
=2-(y
2
2
+y
2
3
)≤2,即当(x
1
,x
2
,x
3
)≤10,即当[*]时,原二次型最大值为10。
解析
本题主要考查特征向量的求解及特征值的性质。求二次型的标准形基本步骤为:先求出二次型矩阵的特征向量,然后将特征向量单位化,得出正交矩阵。本题计算f(x
1
,x
2
,x
3
)的最大值时可结合平方数非负的特点。
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考研数学三
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