2. 考研
  3. 设f(x1，x2，x3)＝xTAx＝x21＋x22＋x23＋4xl戈2＋4x1x3＋4x2x3，求正交变换化二次型为标准形，并求当x满足xTx＝x21＋x22＋x23＝2时，f(x1，x2，x3)的最大值。

设f(x1，x2，x3)＝xTAx＝x21＋x22＋x23＋4xl戈2＋4x1x3＋4x2x3，求正交变换化二次型为标准形，并求当x满足xTx＝x21＋x22＋x23＝2时，f(x1，x2，x3)的最大值。

admin2022-01-05  57
问题 设f(x1，x2，x3)＝xTAx＝x21＋x22＋x23＋4xl戈2＋4x1x3＋4x2x3，求正交变换化二次型为标准形，并求当x满足xTx＝x21＋x22＋x23＝2时，f(x1，x2，x3)的最大值。
选项
答案根据题意，二次型矩阵为[*]，则可求得矩阵A的特征值 [*] 因此可得矩阵A的特征值分别为λ1＝5，λ2＝λ3＝－1。 当λ1＝5时，解方程组5E－A＝0可得对应于特征值5的特征向量为ξ1＝(1，1，1)T； 当λ2＝λ3＝－1时，解方程组－E－A＝0可得对应于特征值－1的特征向量为ξ2＝(0，－1，1)T，ξ3＝(－2，1，1)T，且ξ2，ξ3正交。 将向量ξ1＝(1，1，1)T，ξ2＝(0，－1，1)T，ξ3＝(－2，1，1)T单位化之后分别为 [*] 构造正交矩阵，得 [*] 令x＝Py，则F(x1，x2，x2)＝xTAx＝5y21－y22－y23。 因为xTx＝(Py)TPy＝yT(PTP)y＝yTy＝y21＋y22＋y23＝2， 所以 f(x1，x2，x3)＝5y21－y22－y23＝6y21－2， 由于y21＝2－(y22＋y23)≤2，即当(x1，x2，x3)≤10，即当[*]时，原二次型最大值为10。
解析 本题主要考查特征向量的求解及特征值的性质。求二次型的标准形基本步骤为：先求出二次型矩阵的特征向量，然后将特征向量单位化，得出正交矩阵。本题计算f(x1，x2，x3)的最大值时可结合平方数非负的特点。
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考研数学三

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