设向量组α1,α2，α3线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )

admin2019-07-12 42

问题设向量组α₁,α₂，α₃线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )

选项 A、α₁一α₂，α₂一α₃，α₃一α₁。
B、α₁－α₂，α₂+α₃，α₃+α₁。
C、α₁+α₂，3α₁一5α₂，5α₁+9α₂。
D、α₁+α₂，2α₁+3α₂+4α₃，α₁一α₂一2α₃。

答案D

解析方法一：通过已知选项可知
(α₁一α₂)+(α₂一α₃)+(α₃一α₁)=0，
(α₁一α₂)+(α₂+α₃)一(α₃+α₁)=0，
因此选项A、B中的向量组均线性相关。
对于选项C，可设β₁=α₁+α₂，β₂=3α₁一5α₂，β₃，=5α₁+9α₂，即β₁，β₂，β₃三个向量可由α₁，
α₂两个向量线性表示，所以β₁，β₂，β₃必线性相关，即α₁+α₂，3α₁一5α₂，5α₁+9α₂必线性相关。
因而用排除法可知本题应选D。
方法二：利用矩阵运算。
A选项中， (α₁一α₂，α₂一α₃，α₃－α₁)毒l(α₁，α₂，α₃)

因为

=0，所以α₁一α₂，α₂一α₃，α₃－α₁线性相关。
同理，可知B和C两个选项中的向量组也线性相关。D选项中的向量组线性无关，故选D。

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