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设f(x)在[0,1]上连续可导,f(1)=0,∫01xf’(x)dx=2,证明:存在ξ∈[0,1],使得f’(ξ)=4.
设f(x)在[0,1]上连续可导,f(1)=0,∫01xf’(x)dx=2,证明:存在ξ∈[0,1],使得f’(ξ)=4.
admin
2020-03-15
61
问题
设f(x)在[0,1]上连续可导,f(1)=0,∫
0
1
xf’(x)dx=2,证明:存在ξ∈[0,1],使得f’(ξ)=4.
选项
答案
由分部积分,得∫
0
1
xf’(x)dx=xf(x)|
0
1
-∫
0
1
f(x)dx=∫
0
1
f(x)dx=2,于是∫
0
1
f(x)dx=一2.由拉格朗日中值定理,得f(x)=f(x)-f(1)=f’(η)(x一1),其中η∈(x,1),f(x)=f’(η)(x一1)两边对x从0到1积分,得∫
0
1
f(x)dx=∫
0
1
f’(η)(x一1)dx=一2.因为f’(x)在[0,1]上连续,所以f’(x)在[0,1]上取到最小值m和最大值M,由M(x一1)≤f’(η)(x-1)≤m(x—1)两边对x从0到1积分,得[*]即m≤4≤M,由介值定理,存在ξ∈[0,1],使得f’(ξ)=4.
解析
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0
考研数学三
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