设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵其中A*是A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵。证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b。

admin2019-01-19 48

问题设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵

其中A^*是A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵。
证明矩阵Q可逆的充分必要条件是α^TA^-1α≠b。

选项

答案由下三角形行列式及分块矩阵行列式的运算，有 |P|=[*]=|A|，及 |P||Q|=|PQ|=[*]=|A|²(b一αA^-1α)。因为矩阵A可逆，行列式|A|≠0，故Q=|A|(b一α^TA^-1α)。由此可知，Q可逆的充分必要条件是b一α^TA^-1α≠0，即α^TA^-1α≠b。

解析

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考研数学三

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