设A为n阶可逆矩阵,α为n维列向量,b为常数,记分块矩阵 其中A*是A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵。 证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b。

admin2019-01-19  42

问题 设A为n阶可逆矩阵,α为n维列向量,b为常数,记分块矩阵

其中A*是A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵。
证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b。

选项

答案由下三角形行列式及分块矩阵行列式的运算,有 |P|=[*]=|A|, 及 |P||Q|=|PQ|=[*]=|A|2(b一αA-1α)。 因为矩阵A可逆,行列式|A|≠0,故Q=|A|(b一αTA-1α)。 由此可知,Q可逆的充分必要条件是b一αTA-1α≠0,即αTA-1α≠b。

解析
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