已知矩阵 (Ⅰ)求可逆矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵； (Ⅱ)若A+kP正定，求k的取值．

admin2015-05-07 57

问题已知矩阵

(Ⅰ)求可逆矩阵P，使(AP)^T(AP)为对角矩阵；
(Ⅱ)若A+kP正定，求k的取值．

选项

答案(Ⅰ)因为A^T=A，则(AP)^T(AP)=P^TA^TAP=P^TA²P，又 [*] 故问题化为：求可逆矩阵P，使P^TA²P为对角矩阵．构造矩阵为A²的二次型 [*] 则二次型化为标准形 X^TA²x=[*] 于是，二次型合同．故 [*] (Ⅱ)由｜λE－A｜=(λ²－1)(λ－5λ)，知矩阵A的特征值为：1，5，0，－1，进而可知A+kE的特征值为k+1，k+5，k，k－1．于是由A+kE正定可知，k>1．

解析

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考研数学一

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