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  3. 设二维随机变量(X．Y)的概率密度为 问X与Y是否独立?｜X｜与｜Y｜是否独立?

设二维随机变量(X．Y)的概率密度为 问X与Y是否独立?｜X｜与｜Y｜是否独立?

admin2018-08-30  24
问题 设二维随机变量(X．Y)的概率密度为

    问X与Y是否独立?｜X｜与｜Y｜是否独立?
选项
答案关于X的边缘密度为fX(χ)＝∫－∞＋∞f(χ，y)dy． 若｜χ｜≥1，则fX(χ)＝0； 若｜χ｜＜1，则fX(χ)＝[*]． 关于Y的边缘密度为 fY(y)＝∫－∞＋∞f(χ，y)dχ 若｜y｜≥1，则fY(y)＝0；若｜y｜＜1，则fY(y)＝[*]． [*] 即X与Y不独立。 而(｜X｜，｜Y｜)的分布函数为F(χ，y)＝P{｜X｜≤χ，｜y｜≤y} 当χ≤0或y≤0时，f(χ，y)＝0； 当χ≥0，y≥0时，F(χ，y)＝P{－χ≤X≤χ，－y≤Y≤y}＝∫－χχdu∫－yyf(u，v)dv． 当χ≥1，y≥1时，F(χ，y)＝∫-11du∫-11[*]dv＝1； 当0＜χ≤1，y≥1时，F(χ，y)＝∫-χχdu∫-11[*]dv＝χ； 当χ≥1，0＜y≤1时，F(χ，y)＝∫-11du∫-yy[*]dv＝y； 当0＜χ＜1，0＜y＜1时，F(χ，y)＝∫-χχdu∫-yy[*]dv＝χy． [*] 于是，关于｜X｜的(边缘)分布函数为： [*] 而关于｜Y｜的(边缘)分布函数为： [*] 可见FX(χ).FY(y)＝F(χ，y)，[*](χ，y)∈R2，即｜X｜与｜Y｜相互独立．
解析
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考研数学一

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