设二维随机变量(X.Y)的概率密度为 问X与Y是否独立?|X|与|Y|是否独立?

admin2018-08-30  26

问题 设二维随机变量(X.Y)的概率密度为

    问X与Y是否独立?|X|与|Y|是否独立?

选项

答案关于X的边缘密度为fX(χ)=∫-∞+∞f(χ,y)dy. 若|χ|≥1,则fX(χ)=0; 若|χ|<1,则fX(χ)=[*]. 关于Y的边缘密度为 fY(y)=∫-∞+∞f(χ,y)dχ 若|y|≥1,则fY(y)=0;若|y|<1,则fY(y)=[*]. [*] 即X与Y不独立。 而(|X|,|Y|)的分布函数为F(χ,y)=P{|X|≤χ,|y|≤y} 当χ≤0或y≤0时,f(χ,y)=0; 当χ≥0,y≥0时,F(χ,y)=P{-χ≤X≤χ,-y≤Y≤y}=∫-χχdu∫-yyf(u,v)dv. 当χ≥1,y≥1时,F(χ,y)=∫-11du∫-11[*]dv=1; 当0<χ≤1,y≥1时,F(χ,y)=∫χdu∫-11[*]dv=χ; 当χ≥1,0<y≤1时,F(χ,y)=∫-11du∫-yy[*]dv=y; 当0<χ<1,0<y<1时,F(χ,y)=∫χdu∫-yy[*]dv=χy. [*] 于是,关于|X|的(边缘)分布函数为: [*] 而关于|Y|的(边缘)分布函数为: [*] 可见FX(χ).FY(y)=F(χ,y),[*](χ,y)∈R2,即|X|与|Y|相互独立.

解析
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