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[2004年] 设f(x)=∫xx+π+2∣sint∣dt.求f(x)的值域.
[2004年] 设f(x)=∫xx+π+2∣sint∣dt.求f(x)的值域.
admin
2019-04-05
40
问题
[2004年] 设f(x)=∫
x
x+π+2
∣sint∣dt.求f(x)的值域.
选项
答案
令f′(x)=0,得其驻点x
1
=π/4,x
2
=3π/4.易求得 f([*])=∫
π/4
3π/4
sindt=√2,f(0)=∫
0
π/2
sindt=1,f(π)=∫
π
3π/2
(-sint)dt=1. f([*])=∫
3π/4
5π/4
∣sin∣dt=∫
π
3π/4
sindt一∫
π
5π/4
sintdt=2一√2. 由命题1.2.5.6知,f(x)在区间[0,π]上的最大值、最小值分别为 M=max{f(0),f(π/4),f(3π/4),f(π)}=f(π/4)=√2, m=min{f(0),f(π/4),f(3π/4),f(π)}=f(3π/4)=2一√2, 因而f(x)的值域为[2一√2,√2].
解析
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