[2004年] 设f(x)=∫xx+π+2∣sint∣dt.求f(x)的值域.

admin2019-04-05  24

问题 [2004年]  设f(x)=∫xx+π+2∣sint∣dt.求f(x)的值域.

选项

答案 令f′(x)=0,得其驻点x1=π/4,x2=3π/4.易求得 f([*])=∫π/43π/4sindt=√2,f(0)=∫0π/2sindt=1,f(π)=∫π3π/2(-sint)dt=1. f([*])=∫3π/45π/4∣sin∣dt=∫π3π/4sindt一∫π5π/4sintdt=2一√2. 由命题1.2.5.6知,f(x)在区间[0,π]上的最大值、最小值分别为 M=max{f(0),f(π/4),f(3π/4),f(π)}=f(π/4)=√2, m=min{f(0),f(π/4),f(3π/4),f(π)}=f(3π/4)=2一√2, 因而f(x)的值域为[2一√2,√2].

解析
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