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  3. 已知可微函数f(u，v)满足=2(u-v)e-(u+v)，且f(u，0)=u2e-u． 求f(u，v)的表达式和极值．

已知可微函数f(u，v)满足=2(u-v)e-(u+v)，且f(u，0)=u2e-u． 求f(u，v)的表达式和极值．

admin2022-09-22  28
问题 已知可微函数f(u，v)满足=2(u-v)e-(u+v)，且f(u，0)=u2e-u．
求f(u，v)的表达式和极值．
选项
答案由[*]=2(2x-y)e-y对x积分得g(x，y)=∫2(2x-y)e-ydx+φ(y)=2e-y(x2-xy)+φ(y)， 由f(u，0)=u2e-u可得f(x，0)=g(x，x)=φ(x)=x2e-x， 故g(x，y)=2 e-y(x2-xy)+y2e-y． 令x=u，y-x=v，，则f(u，v)=2 e-(u+v)[u2-u(u+v)]+(u+v)2e-(u+v) =-2uv e-(u+v)+(u+v)2 e-(u+v) =e-(u+v)(u2+v2)． 又因为[*]=-e-(u+v)(u2+v2)+e-(u+v)2u=-e-(u+v)(u2+v2-2u)2=0， [*]=-e-(u+v)(u2+v2)+e-(u+v)2v=-e-(u+v)(u2+v2-2v)=0， 解得[*]或者[*] A=f”uu=(2-2u)e-(u+v)-(2u-u2-v2)e-(u+v)=(2-4u+u2+v2)e-(u+v)， B=f”uv=-2v e-(u+v)-(2u-u2-v2)e-(u+v)=(-2v-2u+u2+v2)e-(u+v)， C=f”vv=(2-2v)e-(u+v)-(2v-u2-v2)e-(u+v)=(2-4v+u2+v2)e-(u+v)， 当u=0，v=0时，A=2，B=0，C=2，则AC-B2＞0，又A＞0，故(0，0)是极小值点，极小值f(0，0)=0；当u=1，v=1时，A=0，B=-2e-2，C=0，则AC-B2＜0，故(1，1)不是极值点．
解析
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考研数学二

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