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已知可微函数f(u，v)满足=2(u-v)e-(u+v)，且f(u，0)=u2e-u． 求f(u，v)的表达式和极值．
已知可微函数f(u，v)满足=2(u-v)e-(u+v)，且f(u，0)=u2e-u． 求f(u，v)的表达式和极值．
admin
2022-09-22
97
问题
已知可微函数f(u，v)满足
=2(u-v)e
-(u+v)
，且f(u，0)=u
2
e
-u
．
求f(u，v)的表达式和极值．
选项
答案
由[*]=2(2x-y)e
-y
对x积分得g(x，y)=∫2(2x-y)e
-y
dx+φ(y)=2e
-y
(x
2
-xy)+φ(y)， 由f(u，0)=u
2
e
-u
可得f(x，0)=g(x，x)=φ(x)=x
2
e
-x
， 故g(x，y)=2 e
-y
(x
2
-xy)+y
2
e
-y
． 令x=u，y-x=v，，则f(u，v)=2 e
-(u+v)
[u
2
-u(u+v)]+(u+v)
2
e
-(u+v)
=-2uv e
-(u+v)
+(u+v)
2
e
-(u+v)
=e
-(u+v)
(u
2
+v
2
)． 又因为[*]=-e
-(u+v)
(u
2
+v
2
)+e
-(u+v)
2u=-e
-(u+v)
(u
2
+v
2
-2u)
2
=0， [*]=-e
-(u+v)
(u
2
+v
2
)+e
-(u+v)
2v=-e
-(u+v)
(u
2
+v
2
-2v)=0， 解得[*]或者[*] A=f”
uu
=(2-2u)e
-(u+v)
-(2u-u
2
-v
2
)e
-(u+v)
=(2-4u+u
2
+v
2
)e
-(u+v)
， B=f”
uv
=-2v e
-(u+v)
-(2u-u
2
-v
2
)e
-(u+v)
=(-2v-2u+u
2
+v
2
)e
-(u+v)
， C=f”
vv
=(2-2v)e
-(u+v)
-(2v-u
2
-v
2
)e
-(u+v)
=(2-4v+u
2
+v
2
)e
-(u+v)
， 当u=0，v=0时，A=2，B=0，C=2，则AC-B
2
＞0，又A＞0，故(0，0)是极小值点，极小值f(0，0)=0；当u=1，v=1时，A=0，B=-2e
-2
，C=0，则AC-B
2
＜0，故(1，1)不是极值点．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/pPf4777K
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