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已知可微函数f(u,v)满足=2(u-v)e-(u+v),且f(u,0)=u2e-u. 求f(u,v)的表达式和极值.
已知可微函数f(u,v)满足=2(u-v)e-(u+v),且f(u,0)=u2e-u. 求f(u,v)的表达式和极值.
admin
2022-09-22
75
问题
已知可微函数f(u,v)满足
=2(u-v)e
-(u+v)
,且f(u,0)=u
2
e
-u
.
求f(u,v)的表达式和极值.
选项
答案
由[*]=2(2x-y)e
-y
对x积分得g(x,y)=∫2(2x-y)e
-y
dx+φ(y)=2e
-y
(x
2
-xy)+φ(y), 由f(u,0)=u
2
e
-u
可得f(x,0)=g(x,x)=φ(x)=x
2
e
-x
, 故g(x,y)=2 e
-y
(x
2
-xy)+y
2
e
-y
. 令x=u,y-x=v,,则f(u,v)=2 e
-(u+v)
[u
2
-u(u+v)]+(u+v)
2
e
-(u+v)
=-2uv e
-(u+v)
+(u+v)
2
e
-(u+v)
=e
-(u+v)
(u
2
+v
2
). 又因为[*]=-e
-(u+v)
(u
2
+v
2
)+e
-(u+v)
2u=-e
-(u+v)
(u
2
+v
2
-2u)
2
=0, [*]=-e
-(u+v)
(u
2
+v
2
)+e
-(u+v)
2v=-e
-(u+v)
(u
2
+v
2
-2v)=0, 解得[*]或者[*] A=f”
uu
=(2-2u)e
-(u+v)
-(2u-u
2
-v
2
)e
-(u+v)
=(2-4u+u
2
+v
2
)e
-(u+v)
, B=f”
uv
=-2v e
-(u+v)
-(2u-u
2
-v
2
)e
-(u+v)
=(-2v-2u+u
2
+v
2
)e
-(u+v)
, C=f”
vv
=(2-2v)e
-(u+v)
-(2v-u
2
-v
2
)e
-(u+v)
=(2-4v+u
2
+v
2
)e
-(u+v)
, 当u=0,v=0时,A=2,B=0,C=2,则AC-B
2
>0,又A>0,故(0,0)是极小值点,极小值f(0,0)=0;当u=1,v=1时,A=0,B=-2e
-2
,C=0,则AC-B
2
<0,故(1,1)不是极值点.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/pPf4777K
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考研数学二
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