设A、B为同阶正定矩阵,且AB=BA,证明:AB为正定矩阵.

admin2017-06-26  43

问题 设A、B为同阶正定矩阵,且AB=BA,证明:AB为正定矩阵.

选项

答案(AB)T=BTAT=BA-AB,故AB也是实对称矩阵.因A正定,有正定阵S,使A=S2.于是 S-1(AB)S=S-1SSBS=SBS=STBS 由B正定,知STBS正定,故STBS的特征值全大于0,故与之相似的矩阵AB的特征值全大于0,因此AB正定.

解析
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