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设A、B为同阶正定矩阵,且AB=BA,证明:AB为正定矩阵.
设A、B为同阶正定矩阵,且AB=BA,证明:AB为正定矩阵.
admin
2017-06-26
42
问题
设A、B为同阶正定矩阵,且AB=BA,证明:AB为正定矩阵.
选项
答案
(AB)
T
=B
T
A
T
=BA-AB,故AB也是实对称矩阵.因A正定,有正定阵S,使A=S
2
.于是 S
-1
(AB)S=S
-1
SSBS=SBS=S
T
BS 由B正定,知S
T
BS正定,故S
T
BS的特征值全大于0,故与之相似的矩阵AB的特征值全大于0,因此AB正定.
解析
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考研数学三
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