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  3. 设A、B为同阶正定矩阵，且AB＝BA，证明：AB为正定矩阵．

设A、B为同阶正定矩阵，且AB＝BA，证明：AB为正定矩阵．

admin2017-06-26  105
问题 设A、B为同阶正定矩阵，且AB＝BA，证明：AB为正定矩阵．
选项
答案(AB)T＝BTAT＝BA－AB，故AB也是实对称矩阵．因A正定，有正定阵S，使A＝S2．于是 S-1(AB)S＝S-1SSBS＝SBS＝STBS 由B正定，知STBS正定，故STBS的特征值全大于0，故与之相似的矩阵AB的特征值全大于0，因此AB正定．
解析
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考研数学三

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