设f(x)在[0,1]连续可导，且f(0)=0.证明：存在ξ∈[0，1]，使得f′(ξ)=2∫01f(x)dx.

admin2022-08-19 45

问题设f(x)在[0,1]连续可导，且f(0)=0.证明：存在ξ∈[0，1]，使得f′(ξ)=2∫₀¹f(x)dx.

选项

答案因为f′(x)在区间[0，1]上连续，所以f′(x)在区间[0，1]上取到最大值M和最小值m，对f(x)-f(0)=f′(c)x(其中c介于0与x之间)两边积分得 ∫₀¹f(x)dx=∫₀^xf′(c)xdx，由m≤f′(c)≤M得m∫₀¹xdx≤∫₀¹f′(c)xdx≤M∫₀¹xdx，即m≤2∫₀¹f′(c)xdx≤M或m≤2∫₀¹f(x)dx≤M，由介值定理，存在ξ∈[0，1]，使得f′(ξ)=2∫₀¹f(x)dx.

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/pVR4777K

考研数学三

相关试题推荐

设f(t)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)sinxdx=0．证明：存在ξ∈(0，π)，使得f’(ξ)=0．
设正项级数un收敛，证明收敛，并说明反之不成立．
设有幂级数(1)求该幂级数的收敛域；(2)证明：此幂级数满足微分方程y’’-y=-1；(3)求此幂级数的和函数．
设an=，证明：{an}收敛，并求an．
设a1=1，an+1+=0，证明：数列{an}收敛，并求an.
设a0＞0，an+1=(n=0，1，2，…)，证明：an存在，并求之．
若正项级数an与正项级数bn都收敛，证明下列级数收敛：
证明：当x＞0时，
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，且f(a)=0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得

随机试题

简述党的十九大以来进行的党和国家机构改革的特点。
A．下脘B．建里C．中极D．上脘E．关元位于前正中线上，脐上3寸的腧穴是
在总需求和总供给大体平衡，但当消费偏旺而投资不足时，应当采取的政策组合是()。
若内存条出现故障，计算机启动时会同时给出声音与屏幕文字提示。()
设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有
以下程序的输出结果是___________。#includemain(){intx=27；while(x>20&&x
Whatdoesthepassagefocuson?
BodyLanguageinBusinessI.ImportanceofBodyLanguage—Giveothersa(n)【T1】_____【T1】______—Showour【T2】_____【T2】______—F
______suchagoodchancehedecidedtosetupasabusinessman.
Thenever-ceasingpaceofscientificaccomplishmentoftensurpassestheprogressofmoralthought,leavingpeoplestrugglingto

最新回复(0)

设f(x)在[0,1]连续可导，且f(0)=0.证明：存在ξ∈[0，1]，使得f′(ξ)=2∫01f(x)dx.

考研数学三

设f(t)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)sinxdx=0．证明：存在ξ∈(0，π)，使得f’(ξ)=0．

设正项级数un收敛，证明收敛，并说明反之不成立．

设有幂级数(1)求该幂级数的收敛域；(2)证明：此幂级数满足微分方程y’’-y=-1；(3)求此幂级数的和函数．

设an=，证明：{an}收敛，并求an．

设a1=1，an+1+=0，证明：数列{an}收敛，并求an.

设a0＞0，an+1=(n=0，1，2，…)，证明：an存在，并求之．

若正项级数an与正项级数bn都收敛，证明下列级数收敛：

证明：当x＞0时，

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，且f(a)=0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得

简述党的十九大以来进行的党和国家机构改革的特点。

A．下脘B．建里C．中极D．上脘E．关元位于前正中线上，脐上3寸的腧穴是

在总需求和总供给大体平衡，但当消费偏旺而投资不足时，应当采取的政策组合是()。

若内存条出现故障，计算机启动时会同时给出声音与屏幕文字提示。()

设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有

以下程序的输出结果是___________。#includemain(){intx=27；while(x>20&&x

Whatdoesthepassagefocuson?

BodyLanguageinBusinessI.ImportanceofBodyLanguage—Giveothersa(n)【T1】_____【T1】______—Showour【T2】_____【T2】______—F

______suchagoodchancehedecidedtosetupasabusinessman.

Thenever-ceasingpaceofscientificaccomplishmentoftensurpassestheprogressofmoralthought,leavingpeoplestrugglingto

BodyLanguageinBusinessI.ImportanceofBodyLanguage—Giveothersa(n)【T1】_【T1】—Showour【T2】_【T2】____—F