设f(x)在[0,1]连续可导，且f(0)=0.证明：存在ξ∈[0，1]，使得f′(ξ)=2∫01f(x)dx.

admin2022-08-19 53

问题设f(x)在[0,1]连续可导，且f(0)=0.证明：存在ξ∈[0，1]，使得f′(ξ)=2∫₀¹f(x)dx.

选项

答案因为f′(x)在区间[0，1]上连续，所以f′(x)在区间[0，1]上取到最大值M和最小值m，对f(x)-f(0)=f′(c)x(其中c介于0与x之间)两边积分得 ∫₀¹f(x)dx=∫₀^xf′(c)xdx，由m≤f′(c)≤M得m∫₀¹xdx≤∫₀¹f′(c)xdx≤M∫₀¹xdx，即m≤2∫₀¹f′(c)xdx≤M或m≤2∫₀¹f(x)dx≤M，由介值定理，存在ξ∈[0，1]，使得f′(ξ)=2∫₀¹f(x)dx.

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/pVR4777K

考研数学三

相关试题推荐

设f(t)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)sinxdx=0．证明：存在ξ∈(0，π)，使得f’(ξ)=0．
设f(x)在[a，b]上连续，证明：∫abf(x)dx=(b-a)∫01f[a+(b-a)x]dx．
设有幂级数(1)求该幂级数的收敛域；(2)证明：此幂级数满足微分方程y’’-y=-1；(3)求此幂级数的和函数．
设an为发散的正项级数，令S1=a1+a2+…+an(n=1，2，…)．证明：收敛．
设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)＜1，证明：2x-∫0xf(t)dt=1在(0，1)有且仅有一个根．
证明：当x＞1时，
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，且f(a)=0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得

随机试题

何谓难产?其主要原因有哪些?
灶心土与炮姜均具有的功效有
关于SⅠ、SⅡ、SⅢ图形的描述，错误的是
关于喉癌手术治疗原则，下列说法不正确的是
异位妊娠破裂或流产，最主要的临床表现是
安全及劳动卫生规程未对用人单位提出严格要求的是()。
—Whatareonshowinthemuseum?—Somephotos______bythechildrenofYushu,Qinghai.
我国要建立的宏观调控模式应该是()。
根据以下资料，回答下列问题。2013年第二季度，全国主要监测城市地价总体水平为3226元／平方米。三大重点区域：长江一二角洲、珠江三角洲、环渤海地区综合地价水平分别为4770元／平方米、4552元／平方米、3465元／平方米。分用途看，珠江三角洲地区
Whatdoestheprofessortellthewoman?

最新回复(0)

设f(x)在[0,1]连续可导，且f(0)=0.证明：存在ξ∈[0，1]，使得f′(ξ)=2∫01f(x)dx.

考研数学三

设f(t)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)sinxdx=0．证明：存在ξ∈(0，π)，使得f’(ξ)=0．

设f(x)在[a，b]上连续，证明：∫abf(x)dx=(b-a)∫01f[a+(b-a)x]dx．

设有幂级数(1)求该幂级数的收敛域；(2)证明：此幂级数满足微分方程y’’-y=-1；(3)求此幂级数的和函数．

设an为发散的正项级数，令S1=a1+a2+…+an(n=1，2，…)．证明：收敛．

设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)＜1，证明：2x-∫0xf(t)dt=1在(0，1)有且仅有一个根．

证明：当x＞1时，

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，且f(a)=0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得

何谓难产?其主要原因有哪些?

灶心土与炮姜均具有的功效有

关于SⅠ、SⅡ、SⅢ图形的描述，错误的是

关于喉癌手术治疗原则，下列说法不正确的是

异位妊娠破裂或流产，最主要的临床表现是

安全及劳动卫生规程未对用人单位提出严格要求的是()。

—Whatareonshowinthemuseum?—Somephotos______bythechildrenofYushu,Qinghai.

我国要建立的宏观调控模式应该是()。

Whatdoestheprofessortellthewoman?