设f(x)在[0,1]连续可导，且f(0)=0.证明：存在ξ∈[0，1]，使得f′(ξ)=2∫01f(x)dx.

admin2022-08-19 21

问题设f(x)在[0,1]连续可导，且f(0)=0.证明：存在ξ∈[0，1]，使得f′(ξ)=2∫₀¹f(x)dx.

选项

答案因为f′(x)在区间[0，1]上连续，所以f′(x)在区间[0，1]上取到最大值M和最小值m，对f(x)-f(0)=f′(c)x(其中c介于0与x之间)两边积分得 ∫₀¹f(x)dx=∫₀^xf′(c)xdx，由m≤f′(c)≤M得m∫₀¹xdx≤∫₀¹f′(c)xdx≤M∫₀¹xdx，即m≤2∫₀¹f′(c)xdx≤M或m≤2∫₀¹f(x)dx≤M，由介值定理，存在ξ∈[0，1]，使得f′(ξ)=2∫₀¹f(x)dx.

解析

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