2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，=1，f(1)=0．证明： (1)存在η∈，使得f(η)=η； (2)对任意的k∈(-∞，+∞)，存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)-k[f(ξ)-ξ]=1．

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，=1，f(1)=0．证明： (1)存在η∈，使得f(η)=η； (2)对任意的k∈(-∞，+∞)，存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)-k[f(ξ)-ξ]=1．

admin2018-05-22  38
问题 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，=1，f(1)=0．证明：
(1)存在η∈，使得f(η)=η；
(2)对任意的k∈(-∞，+∞)，存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)-k[f(ξ)-ξ]=1．
选项
答案(1)令φ(x)=f(x)=x，φ(x)在[0，1]上连续，[*]，φ(1)=-1＜0， 由零点定理，存在η∈[*]，使得φ(η)=0，即f(η)=η． (2)设F(x)=e-kxφ(x)，显然F(x)在[0，η]上连续，在(0，η)内可导，且F(0)=F(η)=0， 由罗尔定理，存在ξ∈(0，η)，使得F’(ξ)=0，整理得f’(ξ)-k[f(ξ)-ξ]=1．
解析
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考研数学二

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