已知4维列向量α1，α2，α3线性无关，若βi(i=1，2，3，4)非零且与α1，α2，α3均正交，则秩r(β1，β2，β3，β4)=

admin2015-05-07 32

问题已知4维列向量α₁，α₂，α₃线性无关，若β_i(i=1，2，3，4)非零且与α₁，α₂，α₃均正交，则秩r(β₁，β₂，β₃，β₄)=

选项 A、1
B、2
C、3
D、4

答案A

解析设α₁=(a₁₁，a₁₂，a₁₃，a₁₄)^T， α₂=(a₂₁，a₂₂，a₂₃，a₂₄)^T， α₃=(a₃₁，a₃₂，a₃₃，a₃₄)^T，
那么β_i与α₁，α₂，α₃均正交，即内积

=0(j=1，2，3，4)．
亦即β_j(j=1，2，3，4)是齐次方程组

的非零解
由于α₁，α₂，α₃线性无关，故系数矩阵的秩为3．所以基础解系有4－3=1个解向量．从而r(β₁，β₂，β₃，β₄)=1．故应选(A)．

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