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(1)叙述二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微及微分dz|x0-y0的定义; (2)证明下述可微的必要条件定理:设z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微,则fx’(x0,y0)与fy’(x0,y0)都存在,且dz|x0-y0=fx’(
(1)叙述二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微及微分dz|x0-y0的定义; (2)证明下述可微的必要条件定理:设z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微,则fx’(x0,y0)与fy’(x0,y0)都存在,且dz|x0-y0=fx’(
admin
2018-09-25
63
问题
(1)叙述二元函数z=f(x,y)在点(x
0
,y
0
)处可微及微分dz|
x
0
-y
0
的定义;
(2)证明下述可微的必要条件定理:设z=f(x,y)在点(x
0
,y
0
)处可微,则f
x
’(x
0
,y
0
)与f
y
’(x
0
,y
0
)都存在,且dz|
x
0
-y
0
=f
x
’(x
0
,y
0
)△x+f
y
’(x
0
,y
0
)△y;
(3)请举例说明(2)的逆定理不成立.
选项
答案
(1)定义:设z=f(x,y)在点(x
0
,y
0
)的某邻域U内有定义,且(x
0
+△x,y
0
+△y)∈U,则增量 △z=f(x
0
+△x,y
0
+△y)-f(x
0
,y
0
)[*]A△x+B△y+o(ρ), (*) 其中A,B与△x,△y都无关, [*] 则称f(x,y)在点(x
0
,y
0
)处可微, 并称A△x+B△y为z=f(x,y)在点(x
0
,y
0
)处的全微分,记为dz|
(x
0
,y
0
)
=A△x+B△y. (2)设z=f(x,y)在点(x
0
,y
0
)处可微,则(*)式成立,令△y=0,于是 [*] 证明了f
x
’(x
0
,y
0
)与f
y
’(x
0
,y
0
)存在,并且dz|
(x
0
,y
0
)
=f
x
’(x
0
,y
0
)△x+f
y
’(x
0
,y
0
)△y. (3)(2)的逆定理不成立,反例 [*] f
y
’ (0,0)=0都存在,但在点(0,0)处f(x,y)不可微.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/peg4777K
0
考研数学一
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