设n阶矩阵A=(α1，α2，…，αn)的前n一1个列向量线性相关，后n一1个列向量线性无关，且α1+2α2+…+(n一1)αn-1=0，b=α1+α2+…+αn． (1)证明：方程组AX=b有无穷多个解； (2)求方程组AX=b的通解．

admin2019-08-23 26

问题设n阶矩阵A=(α₁，α₂，…，α_n)的前n一1个列向量线性相关，后n一1个列向量线性无关，且α₁+2α₂+…+(n一1)α_n-1=0，b=α₁+α₂+…+α_n．
(1)证明：方程组AX=b有无穷多个解；
(2)求方程组AX=b的通解．

选项

答案(1)因为r(A)=n-1，又b=α₁+α₂+…+α₄，所以[*]=n一1，即r(A)=[*]=n一1＜n，所以方程组AX=b有无穷多个解． (2)因为α₁+2α₂+…+(n一1)α_n-1=0，所以α₁+2α₂+…+(n一1)α_n-1+0α_n=0，即齐次线性方程组AX=0有基础解系ξ=(1，2，…，n一1，0)^T，又因为b=α₁+α₂+…+α_n，所以方程组AX=b有特解η=(1，1，…，1)^T，故方程组AX=b的通解为kξ+η=k(1，2，…n-1，0)^T+(1，1，…，1)^T(k为任意常数)．

解析

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考研数学一

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设n阶矩阵A=(α1，α2，…，αn)的前n一1个列向量线性相关，后n一1个列向量线性无关，且α1+2α2+…+(n一1)αn-1=0，b=α1+α2+…+αn． (1)证明：方程组AX=b有无穷多个解； (2)求方程组AX=b的通解．

考研数学一

设函数f(x，y)可微，且f(1，1)=1，fx’(1，1)=a,fy’(1，1)=b。又记φ(x)=f{x，f[x，f(x，x)]}，则φ’(1)=__________。

求微分方程xy"+3y’=0的通解。

设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵其中A*是A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵。证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA—1α≠b。

设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r，η1，…，ηn—r+1是它的n—r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为x=k1η1+…+kn—r+1ηn—r+1，其中k1+…+kn—r+1=1。

设向量组α1=(a，0，10)T，α2=(—2，1，5)T，α3=(—1，1，4)T，β=(1，b，c)T，试问：当a，b，c满足什么条件时，β可由α1，α2，α3线性表出，但表示不唯一，求出一般表达式。

向量组α1=(1，—2,0，3)T，α2=(2，—5，—3，6)T，α3=(0，1，3，0)T，α4=(2，—1，4，7)T的一个极大线性无关组是_______。

已知A=有三个线性无关的特征向量，则x=________。

已知A、B为三阶非零矩阵，且A=。β1=(0，1，—1)T，β2=(a，2，1)T，β3=(b，1，0)T是齐次线性方程组Bx=0的三个解向量，且Ax=β3有解。求求Bx=0的通解。

已知A、B为三阶非零矩阵，且A=。β1=(0，1，—1)T，β2=(a，2，1)T，β3=(b，1，0)T是齐次线性方程组Bx=0的三个解向量，且Ax=β3有解。求a，b的值。

参数a取何值时，线性方程组有无数个解?求其通解．

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某公司适用的所得税税率为25％，2014年有关交易或事项如下：(1)2014年1月初，该公司股东权益总额是20500万元，其中股本为10000万元(股数10000万股，每股1元)，资本公积为3000万元，盈余公积为6000万元，未分配利润为1500万元。

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