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  3. 已知un(x)满足u’n(x)=un(x)+xn-1ex(n=1，2，…)，且un(1)=e/n，求级数的和函数。

已知un(x)满足u’n(x)=un(x)+xn-1ex(n=1，2，…)，且un(1)=e/n，求级数的和函数。

admin2021-01-28  29
问题 已知un(x)满足u’n(x)=un(x)+xn-1ex(n=1，2，…)，且un(1)=e/n，求级数的和函数。
选项
答案u’n(x)=un(x)+xn-1ex，即y’-y=xn-1ex， 解得y=ex(C+∫xn-1dx)， 即y=ex(C+xn/n)，因此un(x)=ex(C+xn/n)， 由e/n=un(1)=e(C+1/n)，知C=0，于是un(x)=xnex/n。 下面求级数的和：令S(x)=[*]un(x)=[*](xnex/n)， 则S’(x)=[*](xn-1ex+xnex/n)=S(x)+[*]xn-1ex=S(x)+ex/(1-x)， 即S’(x)-S(x)=ex/(1-x)， 由一阶非齐次线性微分方程公式知S(x)=ex[C+∫1/(1-x)dx]， 令x=0，得0=S(0)=C，因此级数[*]un(x)的和S(x)=exln(1-x)(一1≤z＜1)。
解析
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考研数学三

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