已知un(x)满足u’n(x)=un(x)+xn-1ex(n=1,2,…),且un(1)=e/n,求级数的和函数。

admin2021-01-28  32

问题 已知un(x)满足u’n(x)=un(x)+xn-1ex(n=1,2,…),且un(1)=e/n,求级数的和函数。

选项

答案u’n(x)=un(x)+xn-1ex,即y’-y=xn-1ex, 解得y=ex(C+∫xn-1dx), 即y=ex(C+xn/n),因此un(x)=ex(C+xn/n), 由e/n=un(1)=e(C+1/n),知C=0,于是un(x)=xnex/n。 下面求级数的和:令S(x)=[*]un(x)=[*](xnex/n), 则S’(x)=[*](xn-1ex+xnex/n)=S(x)+[*]xn-1ex=S(x)+ex/(1-x), 即S’(x)-S(x)=ex/(1-x), 由一阶非齐次线性微分方程公式知S(x)=ex[C+∫1/(1-x)dx], 令x=0,得0=S(0)=C,因此级数[*]un(x)的和S(x)=exln(1-x)(一1≤z<1)。

解析
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