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已知un(x)满足u’n(x)=un(x)+xn-1ex(n=1,2,…),且un(1)=e/n,求级数的和函数。
已知un(x)满足u’n(x)=un(x)+xn-1ex(n=1,2,…),且un(1)=e/n,求级数的和函数。
admin
2021-01-28
32
问题
已知u
n
(x)满足u’
n
(x)=u
n
(x)+x
n-1
e
x
(n=1,2,…),且u
n
(1)=e/n,求级数
的和函数。
选项
答案
u’
n
(x)=u
n
(x)+x
n-1
e
x
,即y’-y=x
n-1
e
x
, 解得y=e
x
(C+∫x
n-1
dx), 即y=e
x
(C+x
n
/n),因此u
n
(x)=e
x
(C+x
n
/n), 由e/n=u
n
(1)=e(C+1/n),知C=0,于是u
n
(x)=x
n
e
x
/n。 下面求级数的和:令S(x)=[*]u
n
(x)=[*](x
n
e
x
/n), 则S’(x)=[*](x
n-1
e
x
+x
n
e
x
/n)=S(x)+[*]x
n-1
e
x
=S(x)+e
x
/(1-x), 即S’(x)-S(x)=e
x
/(1-x), 由一阶非齐次线性微分方程公式知S(x)=e
x
[C+∫1/(1-x)dx], 令x=0,得0=S(0)=C,因此级数[*]u
n
(x)的和S(x)=e
x
ln(1-x)(一1≤z<1)。
解析
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考研数学三
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