2. 考研
  3. (14年)设函数f(x)，g(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)单调增加，0≤g(x)≤1，证明： (I)0≤∫axg(t)dt≤(x-a),x∈[a,b] (Ⅱ)≤∫abf(x)g(x)dx．

(14年)设函数f(x)，g(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)单调增加，0≤g(x)≤1，证明： (I)0≤∫axg(t)dt≤(x-a),x∈[a,b] (Ⅱ)≤∫abf(x)g(x)dx．

admin2018-07-27  27
问题 (14年)设函数f(x)，g(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)单调增加，0≤g(x)≤1，证明：
(I)0≤∫axg(t)dt≤(x-a),x∈[a,b]
(Ⅱ)≤∫abf(x)g(x)dx．
选项
答案(I)由0≤g(x)≤1得 0≤∫0ag(t)dt≤∫0x1dt=(x一a) x∈[a，b] (Ⅱ)令F(u)=∫auf(x)g(x)dx一[*] 只要证明F(b)≥0，显然F(a)=0．只要证明F(u)单调增．又 F’(u)=f(u)g(u)一f(a+∫aug(t)dt)g(u) =g(u)[f(u)-f(a+∫aug(t)dt)] 由(I)的结论0≤∫axg(t)dt≤(x一a)知．a≤a+∫axg(t)dt≤x,即 a≤a+∫aug(t)dt≤u 又f(x)单调增加，则f(u)≥f(a+∫aug(t)dt)．因此，F’(u)≥0，F(b)≥0． 故 [*]
解析
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考研数学二

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