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设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n实矩阵,BT为B的转置矩阵,试证:BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n.
设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n实矩阵,BT为B的转置矩阵,试证:BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n.
admin
2020-04-30
32
问题
设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n实矩阵,B
T
为B的转置矩阵,试证:B
T
AB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n.
选项
答案
必要性.若B
T
AB为正定矩阵,则对任意的实n维列向量x≠0,有 x
T
(B
T
AB)x>0, 即 (Bx)
T
A(Bx)>0. 又A为正定矩阵,于是Bx≠0.因此齐次线性方程组Bx=0仅有零解,从而r(B)=n. 充分性.因(B
T
AB)
T
=B
T
A
T
B=B
T
AB,故B
T
AB为对称矩阵.若r(B)=n,则齐次线性方程组Bx=0仅有零解.因此,对任意的n维实列向量x≠0,必有Bx≠0. 由已知,A为正定矩阵,故对Bx≠0,有 (Bx)
T
A(Bx)>0, x
T
(B
T
AB)x>0, 故B
T
AB为正定矩阵.
解析
本题主要考查实对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件,齐次线性方程组仅有零解的判别.注意运用齐次线性方程组Bx=0只有零解充分必要条件是
,则有Bx≠0,这是证题的关键.
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考研数学一
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