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设数列{xn}满足:x1>0,.证明:{xn}收敛,并求。
设数列{xn}满足:x1>0,.证明:{xn}收敛,并求。
admin
2022-09-08
41
问题
设数列{x
n
}满足:x
1
>0,
.证明:{x
n
}收敛,并求
。
选项
答案
证明:首先证明数列{x
n
}有下界,即证明x
n
>0. 当n=1时,x
1
>0. 根据题意可设x
2
=[*]>x
1
可知x
2
>In 1=0. 假设当n=k时,x
k
>0,则当n=k+1时,x
k+1
=[*],可知x
k+1
>In 1=0. 根据数学归纳法,对任意的n∈N
+
,有x
n
>0. 再证明数列{x
n
}的单调性. x
n+1
-x
n
=[*] 设g(x)=e
x
-1-xe
x
(x>0), 当x>0时,g’(x)=e
x
-e
x
-xe
x
=-xe
x
<0。 所以g(x)单调递减,g(x)<g(0)=0,即e
x
-1<xe
x
, 因此x
n+1
-x
n
=[*], 故x
n+1
<x
n
,即数列{x
n
}单调递减. 综上所述,数列{x
n
}单调递减且有下界. 由数列单调有界收敛定理可知{x
n
}收敛. 设[*]两边取极限,则有Ae
A
=e
A
-1, 解得A=0,故[*]。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/qBe4777K
0
考研数学一
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