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  3. 设数列{xn}满足：x1＞0，．证明：{xn}收敛，并求。

设数列{xn}满足：x1＞0，．证明：{xn}收敛，并求。

admin2022-09-08  55
问题 设数列{xn}满足：x1＞0，．证明：{xn}收敛，并求。
选项
答案证明：首先证明数列{xn}有下界，即证明xn＞0． 　　 当n=1时，x1＞0． 　　根据题意可设x2=[*]＞x1可知x2＞In 1=0． 　　假设当n=k时，xk＞0，则当n=k+1时，xk+1=[*]，可知xk+1>In 1=0. 　　根据数学归纳法，对任意的n∈N+，有xn＞0． 　　再证明数列{xn}的单调性． 　　xn+1-xn=[*] 　　设g(x)=ex-1-xex(x＞0)， 　　当x＞0时，g’(x)=ex-ex-xex=-xex＜0。 　　所以g(x)单调递减，g(x)＜g(0)=0，即ex-1＜xex， 　　因此xn+1-xn=[*]， 　　故xn+1＜xn，即数列{xn}单调递减． 　　综上所述，数列{xn}单调递减且有下界． 　　由数列单调有界收敛定理可知{xn}收敛． 　　设[*]两边取极限，则有AeA=eA-1， 　　解得A=0，故[*]。
解析
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考研数学一

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