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  3. 设A，B均为n阶对称矩阵，则不正确的是( )

设A，B均为n阶对称矩阵，则不正确的是( )

admin2018-12-29  54
问题 设A，B均为n阶对称矩阵，则不正确的是(    )
选项 A、A+B是对称矩阵。
B、AB是对称矩阵。
C、A*+B*是对称矩阵。
D、A—2B是对称矩阵。
答案B
解析 由题设条件，则
(A+B)T=AT+BT=A+B，(kB)T=kBT=kB，
所以有    (A—2B)T=AT—(2BT)=A—2B，
从而A、D两项是正确的。
首先来证明(A*)T=(AT)*，即只需证明等式两边(i，j)位置元素相等。(A*)T在位置(i，j)的元素等于A*在(j，i)位置的元素，且为元素aij的代数余子式Aij。而矩阵(AT)*在(i，j)位置的元素等于AT的(j，i)位置的元素的代数余子式，因A为对称矩阵，即aji=aij，则该元素仍为元素aij的代数余子式Aij。从而(A*)T=(AT)*=A*，故A*为对称矩阵，同理，B*也为对称矩阵。结合选项A可知C项是正确的。
因为(AB)T=BTAT=BA，从而B项不正确，故选B。
注意：当A，B均为对称矩阵时，AB为对称矩阵的充要条件是AB=BA。
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