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已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2．求： (1)a的值． (2)正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化为标准形． (3)方程f(x1，x2，x3)=0的解．
已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2．求： (1)a的值． (2)正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化为标准形． (3)方程f(x1，x2，x3)=0的解．
admin
2020-09-25
77
问题
已知二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=(1一a)x
1
2
+(1一a)x
2
2
+2x
3
2
+2(1+a)x
1
x
2
的秩为2．求：
(1)a的值．
(2)正交变换x=Qy，把f(x
1
，x
2
，x
3
)化为标准形．
(3)方程f(x
1
，x
2
，x
3
)=0的解．
选项
答案
(1)二次型矩阵A=[*] 因为R(A)＜3，所以|A|=0，即一8a=0，所以a=0． (2)由(1)得A=[*] 令|λE一A|=[*]=λ(λ一2)
2
=0， 解得A的特征值为λ
1
=0，λ
2
=λ
3
=2． ①当λ=0时，解(一A)x=0得特征向量ξ
1
=(1，一1，0)
T
． ②当λ=2时，解(2E-A)x=0得特征向量ξ
2
=(1，1，0)
T
，ξ
3
=(0，0，1)
T
，观察可知ξ
2
，ξ
3
正交，因此只需将ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
单位化即可， [*] 则正交变换x=Qy可得f(x
1
，x
2
，x
3
)=2y
2
2
+2y
3
2
． (3)f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
1
2
+x
2
2
+2x
3
2
+2x
1
x
2
=(x
1
+x
2
)
2
+2x
3
2
=0， 即[*]得方程解为k(1，一1，0)
T
．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/qPx4777K
0
考研数学三
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