已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2．求： (1)a的值． (2)正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化为标准形． (3)方程f(x1，x2，x3)=0的解．

admin2020-09-25 60

问题已知二次型f(x₁，x₂，x₃)=(1一a)x₁²+(1一a)x₂²+2x₃²+2(1+a)x₁x₂的秩为2．求：
  (1)a的值．
  (2)正交变换x=Qy，把f(x₁，x₂，x₃)化为标准形．
  (3)方程f(x₁，x₂，x₃)=0的解．

选项

答案(1)二次型矩阵A=[*] 因为R(A)＜3，所以|A|=0，即一8a=0，所以a=0． (2)由(1)得A=[*] 令|λE一A|=[*]=λ(λ一2)²=0，解得A的特征值为λ₁=0，λ₂=λ₃=2． ①当λ=0时，解(一A)x=0得特征向量ξ₁=(1，一1，0)^T． ②当λ=2时，解(2E-A)x=0得特征向量ξ₂=(1，1，0)^T，ξ₃=(0，0，1)^T，观察可知ξ₂，ξ₃正交，因此只需将ξ₁，ξ₂，ξ₃单位化即可， [*] 则正交变换x=Qy可得f(x₁，x₂，x₃)=2y₂²+2y₃²． (3)f(x₁，x₂，x₃)=x₁²+x₂²+2x₃²+2x₁x₂=(x₁+x₂)²+2x₃²=0，即[*]得方程解为k(1，一1，0)^T．

解析

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考研数学三

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已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2．求： (1)a的值． (2)正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化为标准形． (3)方程f(x1，x2，x3)=0的解．

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微分方程xy’一y[1n(xy)一1]=0的通解为__________．

设随机变量X和Y相互独立，且都服从正态分布N(μ，σ2)，则P{｜X—Y｜＜1}()

(1991年)求微分方程=x2+y2满足条件y｜x=e=2e的特解．

设α1=(1，2，0)T，α2=(1，a+2，一3a)T，α3=(一1，一b一2，a+2b)T，β=(1，3，一3)T，试讨论当a，b为何值时。(Ⅰ)β不能由α1，α2，α3线性表示；(Ⅱ)β可由α1，α2，α3唯一地线性表示，并求出表

设向量α1，α2，…，αt是齐次线性方程组．AX=0的一个基础解系，向量β不是AX=0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

设则当x→0时，f(x)是g(x)的()．

[2003年]已知曲线y=x3－3ax2+b与x轴相切，则b2通过a表示为b2=__________．

设则m，n可取()．

已知A是四阶矩阵，A是A的伴随矩阵，若A的特征值是1，一1，2，4，那么不可逆矩阵是（）

设则有()

可编程序控制器可以对()进行运算。

胸椎()

—Howdoyoulikethesechairs?—Theyareactuallynicebuttheyarenotmuch________demandnow.

仪器设备出现故障后，要对对过去进行的检验检测活动造成的影响进行追溯，发现不符合应执行不符合工作的处理程序，暂停检验检测工作。()

在下列应设有应急照明的条件中，哪一条是错误的?

设备监理工程师的行为责任风险来源不包括(　　)。

客户家庭财务现状的分析主要包括()。

不考虑其他因素，甲公司发生的下列交易事项中，应当按照非货币性资产交换进行会计处理的有()。(2014年)

函数f(χ，y，z)＝χ2＋y2＋z2在点(1，－1，0)处沿球面χ2＋y2＋z2＝2在该点的外法线方向的方向导数＝_______。

已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2．求： (1)a的值． (2)正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化为标准形． (3)方程f(x1，x2，x3)=0的解．

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微分方程xy’一y[1n(xy)一1]=0的通解为__________．

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(1991年)求微分方程=x2+y2满足条件y｜x=e=2e的特解．

设α1=(1，2，0)T，α2=(1，a+2，一3a)T，α3=(一1，一b一2，a+2b)T，β=(1，3，一3)T，试讨论当a，b为何值时。(Ⅰ)β不能由α1，α2，α3线性表示；(Ⅱ)β可由α1，α2，α3唯一地线性表示，并求出表

设向量α1，α2，…，αt是齐次线性方程组．AX=0的一个基础解系，向量β不是AX=0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

设则当x→0时，f(x)是g(x)的()．

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设则m，n可取()．

已知A是四阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若A*的特征值是1，一1，2，4，那么不可逆矩阵是（）

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在下列应设有应急照明的条件中，哪一条是错误的?

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函数f(χ，y，z)＝χ2＋y2＋z2在点(1，－1，0)处沿球面χ2＋y2＋z2＝2在该点的外法线方向的方向导数＝_______。

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设备监理工程师的行为责任风险来源不包括(　　)。