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已知二次型f(x1,x2,x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2.求: (1)a的值. (2)正交变换x=Qy,把f(x1,x2,x3)化为标准形. (3)方程f(x1,x2,x3)=0的解.
已知二次型f(x1,x2,x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2.求: (1)a的值. (2)正交变换x=Qy,把f(x1,x2,x3)化为标准形. (3)方程f(x1,x2,x3)=0的解.
admin
2020-09-25
80
问题
已知二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=(1一a)x
1
2
+(1一a)x
2
2
+2x
3
2
+2(1+a)x
1
x
2
的秩为2.求:
(1)a的值.
(2)正交变换x=Qy,把f(x
1
,x
2
,x
3
)化为标准形.
(3)方程f(x
1
,x
2
,x
3
)=0的解.
选项
答案
(1)二次型矩阵A=[*] 因为R(A)<3,所以|A|=0,即一8a=0,所以a=0. (2)由(1)得A=[*] 令|λE一A|=[*]=λ(λ一2)
2
=0, 解得A的特征值为λ
1
=0,λ
2
=λ
3
=2. ①当λ=0时,解(一A)x=0得特征向量ξ
1
=(1,一1,0)
T
. ②当λ=2时,解(2E-A)x=0得特征向量ξ
2
=(1,1,0)
T
,ξ
3
=(0,0,1)
T
,观察可知ξ
2
,ξ
3
正交,因此只需将ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
单位化即可, [*] 则正交变换x=Qy可得f(x
1
,x
2
,x
3
)=2y
2
2
+2y
3
2
. (3)f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
2
+x
2
2
+2x
3
2
+2x
1
x
2
=(x
1
+x
2
)
2
+2x
3
2
=0, 即[*]得方程解为k(1,一1,0)
T
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/qPx4777K
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考研数学三
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