设A,B为3阶相似矩阵,且|2E+A|=0,λ1=1,λ2=-1为B的两个特征值,则行列式|A+2AB|=________.

admin2020-03-18  44

问题 设A,B为3阶相似矩阵,且|2E+A|=0,λ1=1,λ2=-1为B的两个特征值,则行列式|A+2AB|=________.

选项

答案18

解析 由|2E+A|=|A-(-2E)|=0知λ=一2为A的一个特征值.由A~B知A和B有相同特征值,因此λ1=1,λ2=一1也是A的特征值.故A,B的特征值均为λ1=1,λ2=一1,λ3=一2.则有E+2B的特征值为1+2 ×1=3,1+2 ×(-1)=一1,1+2×(-2)=-3,从而
    E+2B|=3×(-1)×( -3)=9,|A|=λ1λ2λ3=2.故
   |A+2AB|=|A(E+2B)|=|A|.|E+2B|=2.9=18.
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