2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=x12－x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数为1，则a的取值范围是_______．

设二次型f(x1，x2，x3)=x12－x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数为1，则a的取值范围是_______．

admin2018-07-26  65
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=x12－x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数为1，则a的取值范围是_______．
选项
答案[－2，2]．
解析 1 对f配方，可得
f=(x1+ax3)2－(x2－2x3)2+(4－a2)x33
于是f可经可逆线性变换

化成标准形
f=z12－z22+(4－a2)z32
若4－a2＜0，则f的负惯性指数为2，不合题意；
若4－a2≥0，则f的负惯性指数为1．
因此，当且仅当4－a2≥0，即|a|≤2时，f的负惯性指数为1．
2 f的矩阵为

A的特征多项式为

=λ3－(5+a2)λ+4－a2，
设A的特征值为λ1，λ2，λ3，则f经正交变换可化成标准形
f=λ1y12+λ2y22+λ3y32
λ1，λ2，λ3中为负的个数即f的负惯性指数，且由特征值的性质知
λ1λ2λ3=det(A)=4－a2．
由于f既可取到正值、又可取到负值，所以λ1，λ2，λ3中至少有一个为正的，也至少有一个为负的．
λ1λ2λ3的符号只有下列3种可能：
(1)λ1λ2λ3=0，此时有λ3=0，1，2λ=±，即f的正、负惯性指数都为1，符号题意．
(2)λ1λ2λ3＜0，此时λ1，λ2，λ3中有“一个为负的，2个为正的(不可能3个都为负，否则与f可取到正值矛盾)，符号题意．
(3)λ1λ2λ3＞0，此时λ1，λ2，λ3中3个都为正的，或者2个为负的，1个为正的，都不符号题意．
综上可知，当且仅当λ1λ2λ3=4－a2≤0，即|a|=2时，符号题意．
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考研数学三

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