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设函数f(χ)在[0,1]二阶可导,且f(0)=f′(0)=f′(1)=0,f(1)=1.求证:存在ξ∈(0,1),使|f〞(ξ)|≥4.
设函数f(χ)在[0,1]二阶可导,且f(0)=f′(0)=f′(1)=0,f(1)=1.求证:存在ξ∈(0,1),使|f〞(ξ)|≥4.
admin
2016-10-21
61
问题
设函数f(χ)在[0,1]二阶可导,且f(0)=f′(0)=f′(1)=0,f(1)=1.求证:存在ξ∈(0,1),使|f〞(ξ)|≥4.
选项
答案
把函数f(χ)在χ=0与χ=1分别展开成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式,得 f(χ)=f0)+f′(0)χ+[*]f〞(ξ
1
)χ
2
(0<ξ
1
<χ), f(χ)=f(1)+f′(1)(χ-1)+[*]f〞(ξ
2
)(χ-1)
2
(χ<ξ
2
<1). 在公式中取χ=[*]并利用题设可得 [*] 两式相减消去未知的函数值f([*])即得f〞(ξ
1
)-f〞(ξ
2
)=8[*]|f〞(ξ
1
)|+|f〞(ξ
2
)|≥8. 故在ξ
1
与ξ
2
中至少有一个使得在该点的二阶导数的绝对值不小于4,把该点取为ξ,就有ξ∈(0,1)使|f〞(ξ)|≥4.
解析
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考研数学二
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