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  3. 设函数f(χ)在[0，1]二阶可导，且f(0)＝f′(0)＝f′(1)＝0，f(1)＝1．求证：存在ξ∈(0，1)，使｜f〞(ξ)｜≥4．

设函数f(χ)在[0，1]二阶可导，且f(0)＝f′(0)＝f′(1)＝0，f(1)＝1．求证：存在ξ∈(0，1)，使｜f〞(ξ)｜≥4．

admin2016-10-21  37
问题 设函数f(χ)在[0，1]二阶可导，且f(0)＝f′(0)＝f′(1)＝0，f(1)＝1．求证：存在ξ∈(0，1)，使｜f〞(ξ)｜≥4．
选项
答案把函数f(χ)在χ＝0与χ＝1分别展开成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，得 f(χ)＝f0)＋f′(0)χ＋[*]f〞(ξ1)χ2 (0＜ξ1＜χ)， f(χ)＝f(1)＋f′(1)(χ－1)＋[*]f〞(ξ2)(χ－1)2 (χ＜ξ2＜1)． 在公式中取χ＝[*]并利用题设可得 [*] 两式相减消去未知的函数值f([*])即得f〞(ξ1)－f〞(ξ2)＝8[*]｜f〞(ξ1)｜＋｜f〞(ξ2)｜≥8． 故在ξ1与ξ2中至少有一个使得在该点的二阶导数的绝对值不小于4，把该点取为ξ，就有ξ∈(0，1)使｜f〞(ξ)｜≥4．
解析
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考研数学二

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