设函数y=y(x)满足微分方程 y“-3y‘+2y=2ex，且其图形在点(0，1)处的切线与曲线y=x2-x+1在该点的切线重合，求y=y(x)的表达式．

admin2021-02-25 98

问题设函数y=y(x)满足微分方程
y“-3y‘+2y=2e^x，
且其图形在点(0，1)处的切线与曲线y=x²-x+1在该点的切线重合，求y=y(x)的表达式．

选项

答案原方程所对应的齐次方程的通解为 Y=C₁e^x+C₂e^2x．设原方程的特解为y^*=Axe^x，代入方程得A=-2，故原方程的通解为y=C₁e^x+C₂e^2x-2xe^x．由于曲线与y=x²-x+1在点(0，1)处有公共切线，从而y(0)=1，y‘(0)=-1，因此[*]解得C₁=1，C₂=0，于是y=y(x)的表达式为y=e^x-2xe^x．

解析本题仍是二阶常系数非齐次方程的初值问题，初始条件要从已知条件两条切线重合得出．

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考研数学二

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微分方程y”－2y’﹢y＝ex的特解形式为()
(1993年)设平面图形A由χ2＋y2≤2χ与y≥χ所确定，求图形A绕直线χ＝2旋转一周所得旋转体的体积。
曲线y=与直线x=0，x=t(t＞0)及y=0围成一曲边梯形。该曲边梯形绕X轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t)，侧面积为S(t)，在x=t处的底面积为F(t)。求S(t)／V(t)的值；
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微分方程=0的通解是____________．
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