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设函数y=y(x)满足微分方程 y“-3y‘+2y=2ex, 且其图形在点(0,1)处的切线与曲线y=x2-x+1在该点的切线重合,求y=y(x)的表达式.
设函数y=y(x)满足微分方程 y“-3y‘+2y=2ex, 且其图形在点(0,1)处的切线与曲线y=x2-x+1在该点的切线重合,求y=y(x)的表达式.
admin
2021-02-25
65
问题
设函数y=y(x)满足微分方程
y“-3y‘+2y=2e
x
,
且其图形在点(0,1)处的切线与曲线y=x
2
-x+1在该点的切线重合,求y=y(x)的表达式.
选项
答案
原方程所对应的齐次方程的通解为 Y=C
1
e
x
+C
2
e
2x
. 设原方程的特解为y
*
=Axe
x
,代入方程得A=-2,故原方程的通解为y=C
1
e
x
+C
2
e
2x
-2xe
x
. 由于曲线与y=x
2
-x+1在点(0,1)处有公共切线,从而y(0)=1,y‘(0)=-1, 因此[*]解得C
1
=1,C
2
=0,于是y=y(x)的表达式为y=e
x
-2xe
x
.
解析
本题仍是二阶常系数非齐次方程的初值问题,初始条件要从已知条件两条切线重合得出.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/AO84777K
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考研数学二
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