设矩阵A=aaT+bbT，这里a，b为n维列向量，证明：当a，b线性相关时，R(A)≤1．

admin2021-02-25 29

问题设矩阵A=aa^T+bb^T，这里a，b为n维列向量，证明：
当a，b线性相关时，R(A)≤1．

选项

答案当a，b线性相关时，若a，b均为零向量，则A=0，结论成立．若a，b不全为零向量，不妨设a≠0，因此时a与b成比例，有b=λa(λ可能为0)，于是aa^T+bb^T=(1+λ²)aa^T，从而有 R(A)=R((1+λ²)aa^T)=R(aa^T)≤R(a)=1．

解析

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考研数学二

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