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设矩阵A=aaT+bbT,这里a,b为n维列向量,证明: 当a,b线性相关时,R(A)≤1.
设矩阵A=aaT+bbT,这里a,b为n维列向量,证明: 当a,b线性相关时,R(A)≤1.
admin
2021-02-25
60
问题
设矩阵A=aa
T
+bb
T
,这里a,b为n维列向量,证明:
当a,b线性相关时,R(A)≤1.
选项
答案
当a,b线性相关时,若a,b均为零向量,则A=0,结论成立.若a,b不全为零向量,不妨设a≠0,因此时a与b成比例,有b=λa(λ可能为0),于是aa
T
+bb
T
=(1+λ
2
)aa
T
,从而有 R(A)=R((1+λ
2
)aa
T
)=R(aa
T
)≤R(a)=1.
解析
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考研数学二
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