2. 考研
  3. 设n元线性方程组Ax=b，其中 (1)证明行列式|A|=(n+1)an． (2)当a为何值时，该方程组有唯一解?求x1． (3)当a为何值时，该方程组有无穷多解?求通解．

设n元线性方程组Ax=b，其中 (1)证明行列式|A|=(n+1)an． (2)当a为何值时，该方程组有唯一解?求x1． (3)当a为何值时，该方程组有无穷多解?求通解．

admin2020-09-25  153
问题 设n元线性方程组Ax=b，其中

  (1)证明行列式|A|=(n+1)an．
  (2)当a为何值时，该方程组有唯一解?求x1．
  (3)当a为何值时，该方程组有无穷多解?求通解．
选项
答案(1)记Dn=|A|．用数学归纳法证明Dn=(n+1)an． ①当n=1时，D1=2a，结论成立． ②当n=2时，D2=[*]=3a2，结论成立． 假设结论对小于n的情况成立，将Dn按第一行展开，得 [*] 根据假设Dn-1=nan-1,Dn-2=(n一1)an-2，可得 Dn=2a.nan-1一a2(n一1)an-2=(n+1)an．所以结论对任意n成立． (2)当a≠0时，系数行列式Dn=|A|≠0，方程组有唯一解，由克拉默法则，将Dn第一列换成常数列b，得 [*] (3)当a=0时，方程组为[*] 由于[*]=R(A)=n一1＜n，所以方程组有无穷多解，其通解为(0，1，0，…，0)T+k(1，0，0，…，0)T，其中k为任意常数．
解析
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考研数学三

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