设函数f(x)闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f’(x)>0,若极限存在,证明: 在(a,b)内存在与第二小题中ξ相异的点η,使得f’(η)(b2-a2)=∫abf(x)dx。

admin2022-10-08  42

问题 设函数f(x)闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f’(x)>0,若极限存在,证明:
在(a,b)内存在与第二小题中ξ相异的点η,使得f’(η)(b2-a2)=abf(x)dx。

选项

答案因f(ξ)= f(ξ)-0= f(ξ)-f(a) ,在[a,ξ]上应用拉格朗日中值定理知在(a,ξ)内存在一点η使f(ξ)=f’(η)(ξ-a) ,从而由第二小题的结论得 [*] 即有f’(η)(b2-a2)=[*]∫abf(x)dx

解析
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