设函数f(x)闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f’(x)＞0,若极限存在，证明：在(a,b)内存在与第二小题中ξ相异的点η，使得f’(η)(b2－a2)=∫abf(x)dx。

admin2022-10-08 95

问题设函数f(x)闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f’(x)＞0,若极限

存在，证明：
在(a,b)内存在与第二小题中ξ相异的点η，使得f’(η)(b²－a²)=

∫_a^bf(x)dx。

选项

答案因f(ξ)= f(ξ)－0= f(ξ)－f(a) ,在[a,ξ]上应用拉格朗日中值定理知在(a,ξ)内存在一点η使f(ξ)=f’(η)(ξ－a) ,从而由第二小题的结论得 [*] 即有f’(η)(b²－a²)=[*]∫_a^bf(x)dx

解析

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考研数学三

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