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  3. 设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )

设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )

admin2021-02-25  46
问题 设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是(            )
选项 A、λ1≠0
B、λ2≠0
C、λ1=0
D、λ2=0
答案B
解析 本题主要考查特征值、特征向量的定义和线性相关性的判别法．利用属于不同特征值的特征向量线性无关即得．
解法1：
设后k1α1+k2A(α1+α2)=0，得(k1+λ1k2)α1+λ2k2α2=0，由于α1，α2是属于A的不同特征值的特征向量，故α1，α2线性无关，从而
   
所以α1，A(α1+α2)线性无关，即选项(B)正确．
解法2：由于(α1，A(α1+α2))=(α1，λ1α1+λ2α2)=(α1，α2)，故α1，A(α1+α2)线性无关，即α1，A(α1+α2)的秩为2的充要条件为，即λ2≠0，故选B．
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考研数学二

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