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设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )
设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )
admin
2021-02-25
71
问题
设λ
1
，λ
2
是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α
1
，α
2
，则α
1
，A(α
1
+α
2
)线性无关的充分必要条件是( )
选项
A、λ
1
≠0
B、λ
2
≠0
C、λ
1
=0
D、λ
2
=0
答案
B
解析
本题主要考查特征值、特征向量的定义和线性相关性的判别法．利用属于不同特征值的特征向量线性无关即得．
解法1：
设后k
1
α
1
+k
2
A(α
1
+α
2
)=0，得(k
1
+λ
1
k
2
)α
1
+λ
2
k
2
α
2
=0，由于α
1
，α
2
是属于A的不同特征值的特征向量，故α
1
，α
2
线性无关，从而
所以α
1
，A(α
1
+α
2
)线性无关
，即选项(B)正确．
解法2：由于(α
1
，A(α
1
+α
2
))=(α
1
，λ
1
α
1
+λ
2
α
2
)=(α
1
，α
2
)
，故α
1
，A(α
1
+α
2
)线性无关，即α
1
，A(α
1
+α
2
)的秩为2的充要条件为
，即λ
2
≠0，故选B．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/qZ84777K
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考研数学二
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