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设λ1,λ2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α1,α2,则α1,A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )
设λ1,λ2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α1,α2,则α1,A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )
admin
2021-02-25
87
问题
设λ
1
,λ
2
是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α
1
,α
2
,则α
1
,A(α
1
+α
2
)线性无关的充分必要条件是( )
选项
A、λ
1
≠0
B、λ
2
≠0
C、λ
1
=0
D、λ
2
=0
答案
B
解析
本题主要考查特征值、特征向量的定义和线性相关性的判别法.利用属于不同特征值的特征向量线性无关即得.
解法1:
设后k
1
α
1
+k
2
A(α
1
+α
2
)=0,得(k
1
+λ
1
k
2
)α
1
+λ
2
k
2
α
2
=0,由于α
1
,α
2
是属于A的不同特征值的特征向量,故α
1
,α
2
线性无关,从而
所以α
1
,A(α
1
+α
2
)线性无关
,即选项(B)正确.
解法2:由于(α
1
,A(α
1
+α
2
))=(α
1
,λ
1
α
1
+λ
2
α
2
)=(α
1
,α
2
)
,故α
1
,A(α
1
+α
2
)线性无关,即α
1
,A(α
1
+α
2
)的秩为2的充要条件为
,即λ
2
≠0,故选B.
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考研数学二
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