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设线性方程组 与方程 x1+2x2+x3=a-1 (Ⅱ) 有公共解,求a的值及所有公共解.
设线性方程组 与方程 x1+2x2+x3=a-1 (Ⅱ) 有公共解,求a的值及所有公共解.
admin
2021-02-25
26
问题
设线性方程组
与方程
x
1
+2x
2
+x
3
=a-1 (Ⅱ)
有公共解,求a的值及所有公共解.
选项
答案
解法1:将方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)联立得 [*] 则方程组(Ⅲ)的解便是方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解.对方程组(Ⅲ)的增广矩阵A施行初等行变换: [*] 由于方程组(Ⅲ)有解,故其系数矩阵的秩等于增广矩阵A的秩.于是得(a-1)(a-2)=0,即a=1或a=2. 当a=1时, [*] 由此得方程组(Ⅲ)亦即方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解为 [*] 其中k为任意常数. 当a=2时, [*] 由此知方程组(Ⅲ)亦即方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解为 x=(0,1,-1)
T
. 解法2:先求方程组(Ⅰ)的解.其系数行列式为 [*] 当a≠1且a≠2时,系数行列式不等于零,于是齐次方程组(Ⅰ)只有零解.但零向量x=(0,0,0)
T
显然不是方程(Ⅱ)的解(a≠1且a≠2). 当a=1时,对方程组(Ⅰ)的系数矩阵施行初等行变换: [*] 因此方程组(Ⅰ)的通解为x=k(-1,0,1)
T
(k为任意常数).而且此解也满足方程(Ⅱ).总之,此时方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的所有公共解为 [*] 其中k为任意常数. 当a=2时,对方程组(Ⅰ)的系数矩阵施行初等行变换: [*] 此时方程组(Ⅰ)的通解为x=k(0,-1,1)
T
(k为任意常数).将此解代入方程(Ⅱ),得k=-1,所以方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的所有公共解为 [*] 综上,a=1和a=2.
解析
本题考查含参数的方程组求公共解的方法.有两个解法:一是根据两个方程组有公共解的条件知,把这两个方程组联列后的方程组也应有解,且其解即为所求的公共解;二是把一个方程组的解代入到另一个方程组,确立它们的公共解.
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