设线性方程组与方程 x1+2x2+x3=a-1 (Ⅱ) 有公共解，求a的值及所有公共解．

admin2021-02-25 55

问题设线性方程组

与方程
x₁+2x₂+x₃=a-1 (Ⅱ)
有公共解，求a的值及所有公共解．

选项

答案解法1：将方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)联立得 [*] 则方程组(Ⅲ)的解便是方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解．对方程组(Ⅲ)的增广矩阵A施行初等行变换： [*] 由于方程组(Ⅲ)有解，故其系数矩阵的秩等于增广矩阵A的秩．于是得(a-1)(a-2)=0，即a=1或a=2．当a=1时， [*] 由此得方程组(Ⅲ)亦即方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解为 [*] 其中k为任意常数．当a=2时， [*] 由此知方程组(Ⅲ)亦即方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解为 x=(0，1，-1)^T．解法2：先求方程组(Ⅰ)的解．其系数行列式为 [*] 当a≠1且a≠2时，系数行列式不等于零，于是齐次方程组(Ⅰ)只有零解．但零向量x=(0，0，0)^T显然不是方程(Ⅱ)的解(a≠1且a≠2)．当a=1时，对方程组(Ⅰ)的系数矩阵施行初等行变换： [*] 因此方程组(Ⅰ)的通解为x=k(-1，0，1)^T(k为任意常数)．而且此解也满足方程(Ⅱ)．总之，此时方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的所有公共解为 [*] 其中k为任意常数．当a=2时，对方程组(Ⅰ)的系数矩阵施行初等行变换： [*] 此时方程组(Ⅰ)的通解为x=k(0，-1，1)^T(k为任意常数)．将此解代入方程(Ⅱ)，得k=-1，所以方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的所有公共解为 [*] 综上，a=1和a=2．

解析本题考查含参数的方程组求公共解的方法．有两个解法：一是根据两个方程组有公共解的条件知，把这两个方程组联列后的方程组也应有解，且其解即为所求的公共解；二是把一个方程组的解代入到另一个方程组，确立它们的公共解．

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考研数学二

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