2. 考研
  3. 已知A，B均是2×4矩阵，且AX=0有基础解系α1=[1，1，2，1]T，α2=[0，一3，1，0]T； BX=0有基础解系β1=[1，3，0，2]T，β2=[1，2，一1，a]T． (1)求矩阵A； (2)若AX=0和BX=0有非

已知A，B均是2×4矩阵，且AX=0有基础解系α1=[1，1，2，1]T，α2=[0，一3，1，0]T； BX=0有基础解系β1=[1，3，0，2]T，β2=[1，2，一1，a]T． (1)求矩阵A； (2)若AX=0和BX=0有非

admin2018-09-20  65
问题 已知A，B均是2×4矩阵，且AX=0有基础解系α1=[1，1，2，1]T，α2=[0，一3，1，0]T；
    BX=0有基础解系β1=[1，3，0，2]T，β2=[1，2，一1，a]T．
    (1)求矩阵A；
    (2)若AX=0和BX=0有非零公共解，求参数a的值及公共解．
选项
答案(1)记C=[α1，α2]，则有AC=A[α1，α2]=O，得CTAT=O，即AT的列向量(即A的行向量)是CTX=0的解向量． [*] 解得CTX=0的基础解系为ξ1=[1，0，0，一1]T，ξ2=[-7，1，3，0]T． 故[*] (2)若AX=0和BX=0有非零公共解，则非零公共解既可由α1，α2线性表出，也可由β1，β2线性表出，设公共解为 η=x1α1+x2α2=x3β1+x4β2．于是 x1α1+x2α2-x3β1一x4β4=0． (*) 对[α1，α2，一β1，一β2]作初等行变换，有 [*] 当a=3时，方程组(*)有非零解，即k[一1，1，一2，1]T．此时AX=0和BX=0的非零公共解，为 η=L1(一α1+α2)=L1[一1，一4，一1，一1]T=L[1，4，1，1]T， 其中L是任意常数．
解析
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考研数学三

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