设f(x)为[0，1]上单调减少的连续函数，且f(x)＞0，试证：存在唯一的点ξ∈(0，1)，使得∫0ξf(x)dx=(1一ξ)f(ξ)成立．

admin2016-01-11 68

问题设f(x)为[0，1]上单调减少的连续函数，且f(x)＞0，试证：存在唯一的点ξ∈(0，1)，使得∫₀^ξf(x)dx=(1一ξ)f(ξ)成立．

选项

答案令F(x)=∫₀^xf(t)dt一(1一x)f(x)，x∈[0，1]，则F(x)在[0，1]上连续．又 F(0)=-f(0)＜0，F(1)=∫₀¹f(x)dx＞0，由零点定理可知，至少存在一点ξ∈(0，1)，使F(ξ)=0，则有 ∫₀^ξf(x)dx=(1一ξ)f(ξ)．下面用反证法证明ξ的唯一性，假设存在两个值ξ₁，ξ₂∈(0，1)满足上式(不妨设ξ₁＜ξ₂)，则f(ξ₂)-f(ξ₁)＜0，而 [*] 与F(ξ₂)-F(ξ₁)=0矛盾，于是有唯一的ξ∈(0，1)，使得 ∫₀^ξf(x)dx=(1一ξ)f(ξ)成立．

解析

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