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  3. 设f(x)为[0，1]上单调减少的连续函数，且f(x)＞0，试证：存在唯一的点ξ∈(0，1)，使得∫0ξf(x)dx=(1一ξ)f(ξ)成立．

设f(x)为[0，1]上单调减少的连续函数，且f(x)＞0，试证：存在唯一的点ξ∈(0，1)，使得∫0ξf(x)dx=(1一ξ)f(ξ)成立．

admin2016-01-11  77
问题 设f(x)为[0，1]上单调减少的连续函数，且f(x)＞0，试证：存在唯一的点ξ∈(0，1)，使得∫0ξf(x)dx=(1一ξ)f(ξ)成立．
选项
答案 令F(x)=∫0xf(t)dt一(1一x)f(x)，x∈[0，1]，则F(x)在[0，1]上连续． 又 F(0)=-f(0)＜0，F(1)=∫01f(x)dx＞0， 由零点定理可知，至少存在一点ξ∈(0，1)，使F(ξ)=0，则有 ∫0ξf(x)dx=(1一ξ)f(ξ)． 下面用反证法证明ξ的唯一性，假设存在两个值ξ1，ξ2∈(0，1)满足上式(不妨设ξ1＜ξ2)，则f(ξ2)-f(ξ1)＜0，而 [*] 与F(ξ2)-F(ξ1)=0矛盾，于是有唯一的ξ∈(0，1)，使得 ∫0ξf(x)dx=(1一ξ)f(ξ)成立．
解析
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考研数学二

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