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设f(x)为[0,1]上单调减少的连续函数,且f(x)>0,试证:存在唯一的点ξ∈(0,1),使得∫0ξf(x)dx=(1一ξ)f(ξ)成立.
设f(x)为[0,1]上单调减少的连续函数,且f(x)>0,试证:存在唯一的点ξ∈(0,1),使得∫0ξf(x)dx=(1一ξ)f(ξ)成立.
admin
2016-01-11
85
问题
设f(x)为[0,1]上单调减少的连续函数,且f(x)>0,试证:存在唯一的点ξ∈(0,1),使得∫
0
ξ
f(x)dx=(1一ξ)f(ξ)成立.
选项
答案
令F(x)=∫
0
x
f(t)dt一(1一x)f(x),x∈[0,1],则F(x)在[0,1]上连续. 又 F(0)=-f(0)<0,F(1)=∫
0
1
f(x)dx>0, 由零点定理可知,至少存在一点ξ∈(0,1),使F(ξ)=0,则有 ∫
0
ξ
f(x)dx=(1一ξ)f(ξ). 下面用反证法证明ξ的唯一性,假设存在两个值ξ
1
,ξ
2
∈(0,1)满足上式(不妨设ξ
1
<ξ
2
),则f(ξ
2
)-f(ξ
1
)<0,而 [*] 与F(ξ
2
)-F(ξ
1
)=0矛盾,于是有唯一的ξ∈(0,1),使得 ∫
0
ξ
f(x)dx=(1一ξ)f(ξ)成立.
解析
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0
考研数学二
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