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(1997年)就k的不同取值情况,确定方程χ-sinχ=k在开区间(0,)内根的个数,并证明你的结论.
(1997年)就k的不同取值情况,确定方程χ-sinχ=k在开区间(0,)内根的个数,并证明你的结论.
admin
2016-05-30
72
问题
(1997年)就k的不同取值情况,确定方程χ-
sinχ=k在开区间(0,
)内根的个数,并证明你的结论.
选项
答案
设f(χ)=χ-[*]sinχ,则f(χ)在[0,[*]]上连续. 由f′(χ)=1-[*]cosχ=0,解得f(χ)在(0,[*])内的唯一驻点χ
0
=arccos[*] 由于当χ∈(0,χ
0
)时,f′(χ)<0,当χ∈(χ
0
,[*]),f′(χ)>0,所以f(χ)在[0,χ
0
]上单调减少.在[χ
0
,[*]]上单调增加.因此χ
0
为f(χ)在(0,[*])内唯一的最小值点,最小值为y
0
=f(χ
0
)=χ
0
-[*]sinχ
0
,又因f(0)=f([*])=0,故在(0,[*])内f(χ)的取值范围为(y
0
,0). 因此,当k[*][y
0
,0),即k<y
0
或k≥0时,原方程在(0,[*])内没有根. 当k=y
0
时,原方程在(0,[*])内有唯一实根χ
0
. 当k∈(y
0
,0)时,原方程在(0,χ
0
)和(χ
0
,[*])内各恰有一根,即原方程在(0,[*])内恰有两个不同的根.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/qst4777K
0
考研数学二
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