2. 考研
  3. 设三阶对称矩阵A的特征值为0，1，1．α1，α2是A的两个不同的特征向量，且A(α1+α2)=α2． (1)证明α2=0； (2)求方程组AX=α2的通解．

设三阶对称矩阵A的特征值为0，1，1．α1，α2是A的两个不同的特征向量，且A(α1+α2)=α2． (1)证明α2=0； (2)求方程组AX=α2的通解．

admin2020-07-03  23
问题 设三阶对称矩阵A的特征值为0，1，1．α1，α2是A的两个不同的特征向量，且A(α1+α2)=α2．
(1)证明α2=0；
(2)求方程组AX=α2的通解．
选项
答案先证明α1与α2是属于不同特征值的特征向量，且α1是属于特征值λ1=0的特征向量，α2是属于特征值λ2=1的特征向量，否则都与A(α1+α2)=α2矛盾． 例如：若Aα1=α1，Aα2=0.α2，则 A(α1+α2)=Aα1=α1≠α2； 若Aα1=α1，Aα2=α2，则 A(α1+α2)=Aα1+Aα2=α1+α2≠α2(因αi为特征向量，α1≠0)． α1，α2既然属于不同特征值的特征向量，由A为实对称矩阵便有[*]α2=0． 因A为实对称矩阵，必与对角矩阵 [*]相似，因而秩(A)=2，则AX=0的一个基础解系含3—2=1个解向量．由Aα1=0α1=0知，α1为基础解系． 又由A(α1+α2)=α2及Aα2=1.α2=α2知，α2与α1+α2都为AX=α2的特解，故AX=α2的通解为kα1+α2或kα1+(α1+α2)．
解析
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考研数学一

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