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设三阶对称矩阵A的特征值为0，1，1．α1，α2是A的两个不同的特征向量，且A(α1+α2)=α2． (1)证明α2=0； (2)求方程组AX=α2的通解．
设三阶对称矩阵A的特征值为0，1，1．α1，α2是A的两个不同的特征向量，且A(α1+α2)=α2． (1)证明α2=0； (2)求方程组AX=α2的通解．
admin
2020-07-03
27
问题
设三阶对称矩阵A的特征值为0，1，1．α
1
，α
2
是A的两个不同的特征向量，且A(α
1
+α
2
)=α
2
．
(1)证明
α
2
=0；
(2)求方程组AX=α
2
的通解．
选项
答案
先证明α
1
与α
2
是属于不同特征值的特征向量，且α
1
是属于特征值λ
1
=0的特征向量，α
2
是属于特征值λ
2
=1的特征向量，否则都与A(α
1
+α
2
)=α
2
矛盾． 例如：若Aα
1
=α
1
，Aα
2
=0.α
2
，则 A(α
1
+α
2
)=Aα
1
=α
1
≠α
2
； 若Aα
1
=α
1
，Aα
2
=α
2
，则 A(α
1
+α
2
)=Aα
1
+Aα
2
=α
1
+α
2
≠α
2
(因α
i
为特征向量，α
1
≠0)． α
1
，α
2
既然属于不同特征值的特征向量，由A为实对称矩阵便有[*]α
2
=0． 因A为实对称矩阵，必与对角矩阵 [*]相似，因而秩(A)=2，则AX=0的一个基础解系含3—2=1个解向量．由Aα
1
=0α
1
=0知，α
1
为基础解系． 又由A(α
1
+α
2
)=α
2
及Aα
2
=1.α
2
=α
2
知，α
2
与α
1
+α
2
都为AX=α
2
的特解，故AX=α
2
的通解为kα
1
+α
2
或kα
1
+(α
1
+α
2
)．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/quv4777K
0
考研数学一
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