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已知n维向量α1，α2，α3线性无关，证明：3α1＋2α2，α2－α3，4α3－5α1线性无关．
已知n维向量α1，α2，α3线性无关，证明：3α1＋2α2，α2－α3，4α3－5α1线性无关．
admin
2020-06-05
30
问题
已知n维向量α
1
，α
2
，α
3
线性无关，证明：3α
1
＋2α
2
，α
2
－α
3
，4α
3
－5α
1
线性无关．
选项
答案
方法一 如果k
1
(3α
1
＋2α
2
)＋k
2
(α
2
－α
3
)＋k
3
(4α
3
－5α
1
)＝0，那么 (3k
1
－5k
3
)α
1
＋(2k
1
＋k
2
)α
2
＋(﹣k
2
＋4k
3
)α
3
＝0 注意到α
1
，α
2
，α
3
线性无关，于是3k
1
－5k
2
＝0，2k
1
＋k
2
＝0，﹣k
2
＋4k
3
＝0．由克拉默法则得 k
1
＝0，k
2
＝0，k
3
＝0．故向量组3α
1
＋2α
2
，α
2
－α
3
，4α
3
－5α
1
线性无关． 方法二 由于 (3α
1
＋2α
2
，α
2
－α
3
，4α
3
－5α
1
)＝(α
1
，α
2
，α
3
)[*] 又因为矩阵[*]可逆，所以R(β
1
，β
2
，β
3
)＝R(α
1
，α
2
，α
3
)＝3，从而3α
1
＋2α
2
，α
2
－α
3
，4α
3
－5α
1
线性无关．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/r8v4777K
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考研数学一
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