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已知向量组α1,α2,…,αs(s≥2)线性无关,设β1=α1+α2,β2=α2+α3,…,βs-1=αs-1+αs,βs=αs+α1,讨论向量组β1,β2,…,βs的线性相关性.
已知向量组α1,α2,…,αs(s≥2)线性无关,设β1=α1+α2,β2=α2+α3,…,βs-1=αs-1+αs,βs=αs+α1,讨论向量组β1,β2,…,βs的线性相关性.
admin
2020-09-25
35
问题
已知向量组α
1
,α
2
,…,α
s
(s≥2)线性无关,设β
1
=α
1
+α
2
,β
2
=α
2
+α
3
,…,β
s-1
=α
s-1
+α
s
,β
s
=α
s
+α
1
,讨论向量组β
1
,β
2
,…,β
s
的线性相关性.
选项
答案
设有关系式k
1
β
1
+k
2
β
2
+…+k
s
β
s
=0,即k
1
(α
1
+α
2
)+k
2
(α
2
+α
3
)+…+k
s
(α
s
+α
1
)=0,则有(k
1
+k
s
)α
1
+(k
1
+k
2
)α
2
+…+(k
s-1
+k
s
)α
s
=0, 因α
1
,α
2
,…,α
s
线性无关,所以[*] 因为齐次线性方程组的系数行列式为 [*] 所以,当s为奇数时,齐次线性方程组只有零解,从而可得k
1
=k
2
=…=k
s
=0,即向量组β
1
,β
2
,…,β线
s
性无关;当s为偶数时,齐次线性方程组有非零解,从而可知存在不全为零的数k
1
,k
2
,…,k
s
使k
1
β
1
+k
2
β
2
+…+k
s
β
s
=0,即向量组β
1
,β
2
,…,β
s
线性相关.
解析
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考研数学三
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