2. 考研
  3. 已知向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关，设β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs-1=αs-1+αs，βs=αs+α1，讨论向量组β1，β2，…，βs的线性相关性．

已知向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关，设β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs-1=αs-1+αs，βs=αs+α1，讨论向量组β1，β2，…，βs的线性相关性．

admin2020-09-25  30
问题 已知向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关，设β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs-1=αs-1+αs，βs=αs+α1，讨论向量组β1，β2，…，βs的线性相关性．
选项
答案设有关系式k1β1+k2β2+…+ksβs=0，即k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+…+ks(αs+α1)=0，则有(k1+ks)α1+(k1+k2)α2+…+(ks-1+ks)αs=0， 因α1，α2，…，αs线性无关，所以[*] 因为齐次线性方程组的系数行列式为 [*] 所以，当s为奇数时，齐次线性方程组只有零解，从而可得k1=k2=…=ks=0，即向量组β1，β2，…，β线s性无关；当s为偶数时，齐次线性方程组有非零解，从而可知存在不全为零的数k1，k2，…，ks使k1β1+k2β2+…+ksβs=0，即向量组β1，β2，…，βs线性相关．
解析
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考研数学三

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