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已知矩阵有特征值λ=5,求a的值;当a>0时,求正交矩阵Q,使Q—1AQ=Λ。
已知矩阵有特征值λ=5,求a的值;当a>0时,求正交矩阵Q,使Q—1AQ=Λ。
admin
2020-03-10
48
问题
已知矩阵
有特征值λ=5,求a的值;当a>0时,求正交矩阵Q,使Q
—1
AQ=Λ。
选项
答案
因A=5是矩阵A的特征值,则由 [*] 可得a=±2。 当a=2时,矩阵A的特征多项式 [*] 矩阵A的特征值是1,2,5。 由(E一A)x=0得基础解系α
1
=(0,1,一1)
T
;由(2E—A)x=0得基础解系α
2
=(1,0,0)
T
; 由(5E一A)x=0得基础解系α
3
=(0,1,1)
T
。即矩阵A属于特征值1,2,5的特征向量分别是α
1
,α
2
,α
3
。 由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交,故只需单位化,则 [*] 令Q=(γ
1
,γ
2
,γ
3
)=[*]
解析
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考研数学三
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