已知矩阵有特征值λ=5，求a的值；当a＞0时，求正交矩阵Q，使Q—1AQ=Λ。

admin2020-03-10 75

问题已知矩阵

有特征值λ=5，求a的值；当a＞0时，求正交矩阵Q，使Q^—1AQ=Λ。

选项

答案因A=5是矩阵A的特征值，则由 [*] 可得a=±2。当a=2时，矩阵A的特征多项式 [*] 矩阵A的特征值是1，2，5。由（E一A）x=0得基础解系α₁=（0，1，一1）^T；由（2E—A）x=0得基础解系α₂=（1，0，0）^T；由（5E一A）x=0得基础解系α₃=（0，1，1）^T。即矩阵A属于特征值1，2，5的特征向量分别是α₁，α₂，α₃。由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交，故只需单位化，则 [*] 令Q=（γ₁，γ₂，γ₃）=[*]

解析

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