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  3. 已知α1,α2……αs线性无关，β可由α1,α2……αs线性表出，且表示式的系数全不为零．证明：α1,α2……αs，β中任意s个向量线性无关．

已知α1,α2……αs线性无关，β可由α1,α2……αs线性表出，且表示式的系数全不为零．证明：α1,α2……αs，β中任意s个向量线性无关．

admin2015-08-17  42
问题 已知α1,α2……αs线性无关，β可由α1,α2……αs线性表出，且表示式的系数全不为零．证明：α1,α2……αs，β中任意s个向量线性无关．
选项
答案用反证法．设α1,α2……αs，β中任意s个向量组αi-1,αi+1……αs，β线性相关，则存在不全为零的k1,k2,……，ki-1，ki+1，ks，k，使得k1α1+…+ki-1αi-1+ki+1αi+1+…+ksαs+kβ=0． ① 另一方面，由题设β=l1α1+l2α2+…+liαi+…+lsαs，其中Ii≠0，i=1，2，…，5．代入上式，得(k1+kl1)α1+(k2+k2l2)α2+…+(kli-1+kli-1)αi-1+kliαi+(ki+1+kli+1)αi+1+…+(ks+kls)αs=0．因已知α1,α2……αs线性无关，从而由kli=0，li≠0，故k=0，从而由①式得k1，k2，…，ki-1，ki+1，…，ks均为0，矛盾．故α1,α2……αs，β中任意s个向量线性无关．
解析
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考研数学一

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