{设a1=2,an+1=,(n=1,2,…)。 证明:

admin2020-03-10  28

问题 {设a1=2,an+1=,(n=1,2,…)。
证明:

选项

答案(Ⅰ)显然an>0(n=1,2,…),由初等不等式:对任意的非负数x,y必有x+y≥[*]。 易知 [*] 因此{an}单调递减且有下界,故极限[*]an存在。 (Ⅱ)由{an}单调递减,知[*]≥0,则原级数是正项级数。 由an≥1,得0≤[*]≤an—an+1。 而级数[*](an一an+1)的部分和 Sn=[*](ak—ak+1) =a1一an+1, 且[*]an+1存在,则级数[*](an一an+1)收敛。 由比较判别法知[*]收敛。

解析
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