{设a1=2，an+1=，（n=1，2，…）。证明：

admin2020-03-10 49

问题 {设a₁=2，a_n+1=

，（n=1，2，…）。
证明：

选项

答案（Ⅰ）显然a_n＞0（n=1，2，…），由初等不等式：对任意的非负数x，y必有x+y≥[*]。易知 [*] 因此{a_n}单调递减且有下界，故极限[*]a_n存在。（Ⅱ）由{a_n}单调递减，知[*]≥0，则原级数是正项级数。由a_n≥1，得0≤[*]≤a_n—a_n+1。而级数[*]（a_n一a_n+1）的部分和 S_n=[*]（a_k—a_k+1） =a₁一a_n+1，且[*]a_n+1存在，则级数[*]（a_n一a_n+1）收敛。由比较判别法知[*]收敛。

解析

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考研数学三

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