设函数f(x)在(－∞,+∞)内连续，且F(x)=∫0x(x－2t)f(t)dt.试证：若f(x)为偶函数，则F(x)也是偶函数。

admin2022-09-05 53

问题设函数f(x)在(－∞,+∞)内连续，且F(x)=∫₀^x(x－2t)f(t)dt.试证：
若f(x)为偶函数，则F(x)也是偶函数。

选项

答案因为f(－x)=f(x)则有 F(－x)=∫₀^-x(－x－2t)f(t)dt[*]－∫₀^x(－x+2u)f(－u)du =∫₀^x(x－2u)f(u)du=∫₀^x(x－2t)f(t)dt=F(x) 即F(x)为偶函数。

解析

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考研数学三

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