设函数f(x)在[a，b]上有连续导数，在(a，6)内二阶可导，且，证明：在(a，b)内至少存在一点η，η≠ξ，使得f’’(η)=f(η)．

admin2016-07-22 39

问题设函数f(x)在[a，b]上有连续导数，在(a，6)内二阶可导，且

，证明：
在(a，b)内至少存在一点η，η≠ξ，使得f’’(η)=f(η)．

选项

答案设F(x)=e^x[f’(x)-f(x)]，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F(ξ₁)=F(ξ₂)=0，则 F’(x)=e^x[f’’(x)-f’(x)]+e^x[f’(x)-f(x)]=e^x[f’(x)-f(x)]．对F(x)在区间[ξ₁，ξ₂]上应用罗尔定理，即存在η∈(ξ₁，ξ₂)，使得F’(η)=0，故有 f’’(η)=f(η)，且η≠ξ_i(i=1，2)．

解析

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考研数学一

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