设f(x)在[0,+∞)内二阶可导，f(0)=－2,f’(0)=1,f"(x)≥0,证明：f(x)=0在（0，+∞）内有且仅有一个根。

admin2021-11-25 50

问题设f(x)在[0,+∞)内二阶可导，f(0)=－2,f’(0)=1,f"(x)≥0,证明：f(x)=0在（0，+∞）内有且仅有一个根。

选项

答案因为f"(x）≥0，所以f’(x)单调不减，当x＞0时，f"(x)≥f’(0)=1 当x＞0时，f(x)－f(0)=f’(ξ)x，从而f(x)≥f(0)+x，因为[*],所以[*] 由f(x)在[0,+∞)上连续，且f(0)=－2＜0，[*],则f(x)=0在(0,+∞)内至少有一个根，又由f’(x)≥1＞0，得方程的根是唯一的。

解析

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