设f(x)在[0,+∞)内二阶可导,f(0)=-2,f’(0)=1,f"(x)≥0,证明:f(x)=0在(0,+∞)内有且仅有一个根。

admin2021-11-25  20

问题 设f(x)在[0,+∞)内二阶可导,f(0)=-2,f’(0)=1,f"(x)≥0,证明:f(x)=0在(0,+∞)内有且仅有一个根。

选项

答案因为f"(x)≥0,所以f’(x)单调不减,当x>0时,f"(x)≥f’(0)=1 当x>0时,f(x)-f(0)=f’(ξ)x,从而f(x)≥f(0)+x,因为[*],所以[*] 由f(x)在[0,+∞)上连续,且f(0)=-2<0,[*],则f(x)=0在(0,+∞)内至少有一个根,又由f’(x)≥1>0,得方程的根是唯一的。

解析
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