设矩阵有一个特征值是3,求y,并求可逆矩阵P,使(AP)T(AP)为对角矩阵。

admin2018-12-19  31

问题 设矩阵有一个特征值是3,求y,并求可逆矩阵P,使(AP)T(AP)为对角矩阵。

选项

答案因为3是A的特征值,故|3E—A|=8(3一y一1)=0,解得y=2。于是 [*] 由于AT=A,要(AP)T(AP)=PTA2P=Λ,而A2=[*]是对称矩阵,即要A2~Λ, 故可构造二次型xTA2x,再化其为标准形。由配方法,有 xTA2x=x12+x22+5x32+5x42+8x3x4 =y12+y22+5y32+[*]y42, 其中y1=x1,y2=x2,y3=x3+[*]x4,y4=x4,即 [*] 其中 [*] 于是 (AP)T(AP)=PTA2P=[*]

解析
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